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111嘉義高中

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如題,考試時間90分鐘。

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引用:
原帖由 koeagle 於 2022-4-23 17:55 發表
如題,考試時間90分鐘。
填18
a(n+2)*a(n)+6a(n+2)*a(n+1)=a(n+1)*a(n)
a(n+2)[a(n)+6a(n+1)]=a(n+1)*a(n)
1/a(n+1) +6/a(n)=1/a(n+2) [ 令b(n)=1/a(n) ]
整理得b(n+2)-b(n+1)-6*b(n)=0---------(*)
且b(1)=1----------① ,b(2)=1/2 ----------②
(*)的特徵值x符合 x² -x-6=(x-3)(x+2)=0
解得x=3,-2 ,假設b(n)=c1*3^n+c2*(-2)^n---------③
由①②③ 解出c1=1/6 ,c2= -1/4
整理得 a(n)=1/b(n) = 2 / [ 3^(n-1) +(-2)^(n-1) ]  , n∈ℕ

填19
1+1/(x+y)=2/√x ----------①
1-1/(x+y)=√2/√y----------②
①²- ②² 得4/(x+y)=4/x- 2/y
整理得x²+xy-2y²=0
(x+2y)(x-y)=0 ,x=y (x= -2y不合∵x,y∈ℝ)
x=y代入①整理得4x²-12x+1=0
解出數對(x,y)=( (3+2√2)/2 , (3+2√2)/2 )
[註:x=y=(3-2√2)/2代入②不合]

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-23 22:29 編輯 ]

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16.
設函數\(f(x)=x^2-x\)的圖形為\(\Gamma\),且\(Q(2,1)\)為\(\Gamma\)外一點,已知過\(Q\)點有兩條直線與\(\Gamma\)相切,求\(\Gamma\)與這兩條直線所圍成的區域面積為   

求過\(\displaystyle P(\frac{3}{2},3)\)而與拋物線\(\tau\):\(y=-x^2+4x-3\)相切的二切線與拋物線\(\tau\)所圍區域的面積為   
(98彰化女中,老王解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1331)

18.
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\),其中\(n\in \mathbb{N}\),則\(a_n=\)   

一個實數數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_{n+1}a_n-5a_{n+2}a_n+6a_{n+2}a_{n+1}=0\),\(\displaystyle a_1=1\),\(\displaystyle a_2=\frac{1}{4}\),求一般項\(a_n=\)   
(96中一中,https://math.pro/db/thread-1343-1-1.html)

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想請教第10題,謝謝~

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回復 4# pipi 的帖子

第 10 題
9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0
(x - 1)^2 / 4^2 + (y - 2)^2 / 3^2 = 1
令 P(4cosθ + 1,3sinθ + 2)

P 到 2x - 5y - 10 = 0 的距離 = | 8cosθ - 15sinθ - 18| / √29 要最小
故 8cosθ  - 15sinθ = 17
由疊合可知
cosθ = 8/17,sinθ = -15/17

P(49/17,- 11/17)

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請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?  

解到一半生不出來,還是有其他想法呢?

[ 本帖最後由 s7908155 於 2022-4-25 10:57 編輯 ]

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回復 6# s7908155 的帖子

第 20 題
n^3 = n(n - 1)(n - 2) + 3n(n - 1) + n

再利用
Σp^n = p/(1 - p)
Σnp^(n - 1) = [p/(1 - p)]' = 1/(1 - p)^2
Σn(n - 1)p^(n - 2) = [1/(1 - p)^2]' = 2/(1 - p)^3
Σn(n - 1)(n - 2)p^(n - 3) = [2/(1 - p)^3]' = 6/(1 - p)^4

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-25 11:38 編輯 ]

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回復 7# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師,對於C連加會想到要這樣重收。

以為是同乘類公比移位消去算S的方式。

原來可以以微分再重新利用sigma拆開,受教了。

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引用:
原帖由 s7908155 於 2022-4-25 10:56 發表
請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?  
解到一半生不出來,還是有其他想法呢?

附件

387665.jpg (826.14 KB)

2022-4-26 10:12

387665.jpg

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引用:
原帖由 s7908155 於 2022-4-25 10:56 發表
請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?  

解到一半生不出來,還是有其他想法呢?
考場時是這樣解,不過再搭配幾何分布,有些東西就不用算這麼久
X為幾何分布(試驗成功機率為p)的隨機變數

\(\displaystyle E(X)=\sum^\infty_{n=1}n(1-p)^{n-1}p=\frac{1}{p}\),\(\displaystyle E(X^2)=\sum^\infty_{n=1}n^2(1-p)^{n-1}p=Var(X)+(E(X))^2=\frac{2-p}{p^2}\)

設\(\displaystyle S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p\)

則\(\displaystyle (1-p)S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n}p=\sum^\infty_{t=2}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{t=1}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{n=1}(n-1)^3(1-p)^{n-1}p\)

所以\(\displaystyle pS=S-(1-p)S=\sum^\infty_{n=1}(n^3-(n-1)^3)(1-p)^{n-1}p=\sum^\infty_{n=1}(3n^2-3n+1)(1-p)^{n-1}p=3E(X^2)-3E(X)+1\)


所以\(\displaystyle S=\frac{1}{p}\frac{6-3p-3p+p^2}{p^2}=\frac{p^2-6p-6}{p^3}\)

想法是從\(\displaystyle \sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p=E(X^3)\)想到要用幾何分布的資訊去推的

說來慚愧,考試時忘了幾何分布的變異數,所以考場當時只能全部重推,結果太緊張仍推錯了

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2022-5-12 13:00 編輯 ]

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