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110嘉義高中

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110學年度第1次教師甄選-數學科試題.pdf (190.42 KB)

2021-7-31 16:02, 下載次數: 496

110學年度第1次教師甄選-數學科答案.pdf (320.95 KB)

2021-7-31 16:02, 下載次數: 516

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答案有完整解答
8.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n+1\)且\(a_0=1\)、\(a_1=2\),求\(a_{50}\)。

10.
設拋物線\(\Gamma\):\(y=x^2+x+1\),由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\),求\(\Delta ABC\)的面積。

求過\(\displaystyle P(\frac{3}{2},3)\)而與拋物線\(\tau\):\(y=-x^2+4x-3\)相切的二切線與拋物線\(\tau\)所圍區域的面積為   
(98彰化女中,老王解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1331)

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8.同加\(a_{n+1}\),再令\(b_n=a_{n+1}+a_n\)
可得\(b_{n+1}=3b_n+1.b_0=3\),解遞迴\(\displaystyle b_n=a_{n+1}+a_n=3^n \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2}\)

由\(\displaystyle a_{n+1}+a_n=3^n \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2},a_{n+2}+a_{n+1}=3^{n+1} \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2}\)

得知\(\displaystyle a_{n+2}-a_n=7\cdot 3^n\)

所以\(\displaystyle a_{50}=\frac{9^{25}-1}{8}\cdot 7+1\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-7-31 18:12 編輯 ]

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2. 算幾不等式
原式: \(\displaystyle \frac{\frac{a}{6}\cdot 6+\frac{b^2}{3}\cdot3 +\frac{c^3}{2}\cdot 2}{11} \geq \sqrt[11]{\frac{(abc)^6}{2^8\cdot 3^9}}\)

可得\(\displaystyle abc\leq 6 \sqrt[6]{108}\)
等號成立在\(a=6 , b=\sqrt{3},  c=\sqrt[3]{2}\)

計算二
有點導果為因 不知道這樣寫可不可以
甲m票,乙n票,且甲一路領先乙(不能平手)的方法數為\(\displaystyle C^{m+n-1}_{m-1}-C^{m+n-1}_m\)
所以易知
(1)\(\displaystyle P_{m,1}=\frac{m-1}{m+1},P_{m,2}=\frac{m-2}{m+2}\)
(2)直接把該結論砸下去遞迴式驗證
(3)數學歸納法

當\(n=1\)的時候,成立
設\(n=k\)的時候,\(\displaystyle P_{m,n}=\frac{m-k}{m+k}\)成立
則當\(n=k+1\)時

\(\displaystyle P_{m.k+1}=\frac{m}{m+k-1}\cdot \frac{m-1-k}{m-1+k}+\frac{k+1}{m+k+1}\cdot \frac{m-k+1}{m+k-1}=\frac{m-k-1}{m+k+1}\)

想請問第2題有沒有組合解釋的方法

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-8-1 20:09 編輯 ]

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回復 4# satsuki931000 的帖子

甲 m 票,乙 n 票,且甲一路領先乙(不能平手)的方法數
應是 C(m + n - 1,m - 1) - C(m + n - 1,m)

其實看第 2 小題長那樣,就是暗示您用遞迴去解釋,只是不能分成第 1 票是甲或乙去討論,而是最後 1 票。
用上面的方法數公式去算第 2 小題,計算量太大,時間會不夠。
至於組合的方法,小弟覺得湊不出那樣的遞迴式

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回復 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師提醒
第一題沒注意到打錯了...

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