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標題: 99台中一中(部分題目) [打印本頁]

作者: kapa 時間: 2010-5-5 14:38 標題: 99台中一中(部分題目)

煩請眾前輩高手欣賞

附件: [考試時間有限,只能記下這些.] 99台中一中(部分題目).pdf (2010-5-5 14:38, 51.59 KB) / 該附件被下載次數 14391
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作者: weiye 時間: 2010-5-5 15:31

我再貢獻幾題我有記下的題目，

並且把之前有人問的題目都放在一起，方便以後查詢：

※※　題號接續上面的pdf 檔，非原始題號　※※

第 4 題：（數據有改，方法相同）

若已知四面體四個面皆由全等的三角形構成 , 若此三角形三邊長為 \(17,16,10\)，求四面體體積 = ?

https://math.pro/db/thread-927-1-1.html

第 6 題：（數據有改，方法相同）

\(\displaystyle \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin x\right)dx=\)？

https://math.pro/db/thread-926-1-1.html

第 8 題：

給定雙曲線 \(\displaystyle \Gamma:\, \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1\) 與直線 \(L:\, 3x+4y=k\)，

若在 \(L\) 上存在唯一點 \(P\)，使得過 \(P\) 點對雙曲線恰可做兩條互相垂直的切線，求 \(P\) 點坐標。

第 9 題：

\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？

第 10 題：已知 \(\overline{PA}, \overline{PB}, \overline{PC}\) 是圓 \(O\) 的三弦，\(∠ APB=\alpha, ∠ BPC=\beta\)，

試證： \(\overline{PB}\sin\left(\alpha+\beta\right)=\overline{PC}\sin\alpha+\overline{PA}\sin\beta.\)

第 11 題：

若 \(2^n=a!+b!+c!\)，其中 \(n,a,b,c\) 為正整數 , 且 \(a\geq b\) ，\(b\geq c\) 則 \((a,b,c,n)\) 有幾組解 ?

https://math.pro/db/thread-928-1-1.html

第 12 題：

在 \(2700\) 的正因數中 , 任取 \(3\) 個因數 \(a,b,c\)，則 \(a\) 是 \(b\) 的因數，\(b\) 是 \(c\) 的因數之機率 = ?

https://math.pro/db/thread-925-1-1.html

作者: mandy 時間: 2010-5-5 18:59

請問第5 ,6,7,8,9 題怎麼做 ? 感恩 !

作者: weiye 時間: 2010-5-5 19:09

第 6 題：

延續 https://math.pro/db/thread-926-1-1.html 的結果，

可得

\(\displaystyle\int^{\pi}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=\int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx+\int^{\pi}_{\pi/2}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=2 \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=-\pi\ln2.\)

作者: weiye 時間: 2010-5-5 19:18

第 7 題：
如右圖之\(\Delta ABC\)中，點\(G\)在\(\overline{AB}\)上，\(\overline{AG}:\overline{GB}=2:1\)，點\(F\)在\(\overline{AC}\)上，\(\overline{AF}:\overline{FC}=1:2\)，點\(D\)、點\(E\)在\(\overline{BC}\)上，\(\overline{BD}:\overline{DE}:\overline{EC}=1:1:1\)，又\(\overline{GE}\)與\(\overline{DF}\)交於\(H\)點，求\(\overline{DH}:\overline{HF}=\)　　　。
[解答]
先觀察得 \(\overline{DF}//\overline{AB}\)，

然後由　\(\displaystyle \overline{DF} = \frac{2}{3}\overline{AB}\)

以及　\(\displaystyle \overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{BG} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\overline{AB}\)

可得，\(\displaystyle \overline{DH}:\overline{DF} = \frac{\overline{AB}}{6}:\frac{2}{3}\overline{AB}=1:4\)

113.5.12補充
在\(\Delta ABC\)中，已知點\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(\overline{BD}:\overline{DC}=1:3\)，點\(F\)與點\(G\)都在\(\overline{CA}\)上且\(\overline{CF}:\overline{FG}:\overline{GA}=1:1:2\)，點\(H\)在\(\overline{AB}\)上且\(\overline{AH}:\overline{HB}=1:2\)。若\(\overline{DG}\)與\(\overline{FH}\)交於\(P\)點，則\(\overline{FP}:\overline{PH}=\)　　　。
(113北一女中，https://math.pro/db/thread-3828-1-1.html)

作者: bugmens 時間: 2010-5-5 21:31

2.\( x,y,z \in R \)，若\( \Bigg\{\ \matrix{x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24} \)求\( x^2+y^2+z^2= \)？
(94高中數學能力競賽高屏區筆試二)
要將第一式代到第三式就可以得到xyz

4.如圖四面體，\( \overline{AB}=\overline{AD}=10 \)，\( \overline{BC}=\overline{AD}=17 \)，\( \overline{AC}=\overline{BD}=3 \sqrt{29} \)，求三角錐A-BCD的體積？

設邊長為a,b,c的三角形是銳角三角形。證明，存在一個四面體，其每組對稜都相等且分別等於a,b,c，並計算這個四面體的體積。
(高中數學競賽教程P263)

将边长分别为8、10、12的三角形的各边中点连接，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图，求这个四面体的体积。
(奥数教程　高二卷　第9讲　截面折叠合展开)

△ABC為邊長4,6,6的等腰三角形，其三邊中點分別為D、E、F，沿著中點連線DE、EF、FD摺上來，使A、B、C三點重疊在P點成為一個四面體P-DEF。試問此四面體的頂點P到底面DEF的高度為？
(92台灣師範大學推薦甄選入學指定項目甄試試題)
因為這題是等腰三角形，不用長方體的方法其實也能解出來

102.6.25補充
將邊長10,10,12三角形紙張，沿著三邊中點連線摺起形成一個四面體，試問此四面體體積為　　　。
(102木柵高工，https://math.pro/db/thread-1662-1-1.html)

110.8.23補充
有一個四面體\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=5\)，\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{41}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{34}\)，求此四面體的體積。
(102南港高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1706&page=2#pid9043)

110.5.25補充
已知一個等腰三角形\(ABC\)，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\)，今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\)，分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來，使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\)，則此四面體\(P-DEF\)的體積為　　　。
(110竹科實中，https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

100.10.6補充
若\( x>0 \)，則\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值為？

113.4.21補充
函數\(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+9}+\sqrt{2x^2-16x+(log_3x)^2-2x\cdot log_3x+4\cdot log_3x+40}\)的最小值為　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)

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作者: blue 時間: 2010-5-6 15:07

以下幾題僅將想法列出, 詳細做法可以自己試著做看看.
第八題垂直切線軌跡為一定圓
第十題托勒密定理.

作者: azse0319 時間: 2010-5-7 09:00

第5題
整理後可得　{x^2+（x-2）^2}^1/2 +{(x-7)^2+(x-(logx+1))^2}^1/2　的最小值
即A(0,2)到P(x,x)的距離加上P(x,x)到Q(7, logx+1)的距離和之最小值
畫圖可知（備註：ＰＱ線段必為水平線）
當x=2時有最小值即（0,2)到（7,2)的距離=7
(ps:在這裡logx表示以2為底數,x為真數之對數值)

第十題
利用托勒密定理
PB*AC=PA*BC+PC*AB
同除2R,則PB*(AC/2R)=PA*(BC/2R)+PC*(AB/2R)
正弦定理可知
PB*sin(a+b)=PA*sinb+PC*sina

[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-7 09:01 AM 編輯 ]

作者: azse0319 時間: 2010-5-7 10:29

我還有印象一些比較基礎的題目,大家參考一下
PS:題號接續上面的討論，非原始題號

第13題.
有7個人分成三組,人數分別為3人3人1人,
這7人要坐在12個空坐位上且同組的人一定要相鄰,
不同組的人一定不能相鄰,求有多少坐法(數據不確定)

第14題.
f(x)=x^3+ax^2+bx+c已知lim(f(x)/(x+1))=3,且f(x)的圖形沒有極值,求a的範圍

第15題.
給定空間中四點A( )B( )C( )D( ) (數據忘了)
若P為CD線段上之動點
求三角形ABP面積最小時P點的坐標

第16題
已知一地球儀的赤道長為??,
A在東經??度且B在東經??度北緯60度,
求AB在地球儀上的距離

[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-10 03:18 PM 編輯 ]

作者: mandy 時間: 2010-5-19 23:07 標題: 請問如何求第9題 ?

請問如何求第9題 ?

作者: weiye 時間: 2010-5-21 18:13

第 9 題：

\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？

以 \(P\) 為圓心，以 \(k,2k,3k\) 為半徑（其中 \(k\) 為任意正數）作同心圓，

在這三圓上分別取如上的三點 \(D, E, F\)，

自 \(D,E,F\) 分別做三圓的切線，

三切線分別交於 \(A,B,C\) 三點，

當 \(E,F\) 兩點固定不動，而 \(D\) 點稍微移動

可見 \(\overline{PA}\) 固定不變，然 \(\overline{PB},\, \overline{PC}\) 比列卻不固定。

所以.......... 是我原始題目有抄錯，或是哪裡有想錯嗎？

還是......題目有說 \(\triangle ABC\) 是正三角形？

如果有說是正三角形的話，則

不失一般性，可設 \(P\) 為圓點，

\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，

\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，

\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，

即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值.

作者: fortheone 時間: 2010-5-21 19:40 標題: 回復 11# weiye 的帖子

我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。

作者: weiye 時間: 2010-5-21 19:47

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 07:40 PM 發表
我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。

就是兩個不同的三角形，卻都滿足題意 \(\overline{PD}: \overline{PE}: \overline{PF}=1:2:3\)，

但兩個三角形的 \(PB^2: PC^2\) 非固定比例！

附件: 99tcfsh_ex9.html (2010-5-21 20:01, 4.54 KB) / 該附件被下載次數 10620
https://math.pro/db/attachment.php?aid=196&k=46536caf21287ff165faadde21fc511f&t=1732234926

作者: fortheone 時間: 2010-5-21 20:15 標題: 回復 13# weiye 的帖子

可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^

作者: weiye 時間: 2010-5-21 20:23

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 08:15 PM 發表
可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^

對耶，我完全漏看 \(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\) 這一句了，

真是眼拙！

那就 easy 了！！

因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，

假設將圖形縮放為 \(\overline{PD}=1.\)

可設 \(P\) 為原點，

\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，

\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，

\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，

即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值.

作者: fortheone 時間: 2010-5-21 20:50

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-21 08:23 PM 發表

對耶，我完全漏看 \(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\) 這一句了，

真是眼拙！

那就 easy 了！！

因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，

假設將圖形縮放為 \(\overline{PD}=1.\)

可 ...

用您的算法得比值為

\(1:\frac{30+9\sqrt{3}}{7}:\frac{15+6\sqrt{3}}{7}\)

供參考

感謝提供解法!

作者: 老王 時間: 2010-5-21 22:57

參考一下吧

不知道為何不能附加圖片檔
上面如果沒有顯示
就請移駕
連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!ozHXUsWHHh7UxM0Y2TXK_uEdXwGqCw--/photo?pid=4171

圖片附件: wang.jpg (2010-6-26 08:48, 53.13 KB) / 該附件被下載次數 9239
https://math.pro/db/attachment.php?aid=251&k=4abc966290f5ba06a972a85e61c136d9&t=1732234926

作者: 八神庵 時間: 2010-6-25 22:48

六月八日才公佈題目
六月二十五日才被我找到
雖然晚了,大家一起來動動腦吧!

附件: 99台中一中.pdf (2024-5-13 11:09, 199.15 KB) / 該附件被下載次數 11843
https://math.pro/db/attachment.php?aid=250&k=ed39e0b64dec457bbbb985b3e5192b02&t=1732234926

作者: 老王 時間: 2010-6-26 20:38

話說第7題，由前面兩式可以得到
\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \)
然後就有對於奇數n
\( x^n+y^n+z^n=(x+y+z)^n \)
也就是就求題目所要的東西，前兩式已足夠。

作者: bugmens 時間: 2010-6-26 22:47

感謝八神庵將題目找出來，否則學校拿掉公告，那就真的失傳了

1.一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有\( a_n \)種，若\( a_n=ka_{n-1}+ma_{n-2} \) \( (n \ge 3) \)，k，m為常數，求數對(k,m)=？
[提示]
\( a_n+a_{n-1}=4^{n-1} \)，\( \matrix{a_n+a_{n-1}=4^{n-1} \cr 4a_{n-1}+4a_{n-2}=4^{n-1}} \)，兩式相減得\( a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2} \)

101.4.29補充
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為\( P_n \)。求滿足\( \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} \)之最小n值。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

10.給定雙曲線Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1 \)與直線L：\( 3x+4y=k \)，若在直線L上存在唯一的點P，使過P點對雙曲線可作二條互相垂直的切線，則P點座標=？
[提示]
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html
二條互相垂直的切線的交點軌跡為\( x^2+y^2=16 \)
當k=±20時有唯一的點P

附件: 傳球和青蛙跳問題.rar (2010-6-26 22:47, 71.23 KB) / 該附件被下載次數 12088
https://math.pro/db/attachment.php?aid=253&k=e0ada3335dcc74bb1248ba4a51a11adc&t=1732234926

作者: 艾瑞卡 時間: 2015-3-15 15:25

請問第5題:將12 張相同椅子排成一列，甲乙丙丁戊己庚七人分成三組入座，三組人數各為1 人、3 人、3 人，則同組相鄰，不同組不相鄰之坐法有 _______ 種

我的作法是 7! * H(4,3) = 5040 * 20= 100800  (但正解為302400)

我的想法甲 ○ 乙丙丁 ○ 戊己庚    (其中○為空椅) 這樣就有7!種方法

再將剩下3張空椅,插入以甲乙丙丁戊己庚這3個隔板所隔出的4個區域  是 H(4,3)種方法

所以共 7! * H(4,3) = 5040 * 20= 100800 到底哪個想法錯了呢....><.....??

109.6.7補充
有10張椅子排成一列，甲、乙、丙、丁、戊5人分成三組入座，三組人數分別為1人、2人、2人，求同組相鄰，不同組不相鄰之坐法有　　　種。
(109板橋高中，https://math.pro/db/thread-3343-1-1.html)

作者: thepiano 時間: 2015-3-15 16:20 標題: 回復 21# 艾瑞卡的帖子

單一人的那組可在三人一組這兩組之前、之間或之後，所以是 7! * 3

作者: 艾瑞卡 時間: 2015-3-15 16:25 標題: 回復 22# thepiano 的帖子

鋼琴大,呵呵,感謝你一眼看出我的盲點!!

作者: mathca 時間: 2015-12-18 09:46 標題: 回復 18# 八神庵的帖子

請教填充第9題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-18 11:29 標題: 回復 24# mathca 的帖子

第 9 題
參考站長大的解法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=925&page=1#pid1976

作者: mathca 時間: 2015-12-18 11:40 標題: 回復 25# thepiano 的帖子

感謝聯結。

作者: mathca 時間: 2015-12-29 19:35 標題: 回復 18# 八神庵的帖子

請教填充第3題，地球儀問題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-29 21:22 標題: 回復 27# mathca 的帖子

填充第 3 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=1433#p4046

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