ln(sinx) 積分 從0積到 90度 =?

我的做法比較繁瑣，不知是否有人可以提供更簡單的方法，

我的做法如下：

02lnsinxdx=02lncos2−xdx 


=02lncosx−dx=02lncosxdx 


且

02lnsinxdx=02lnsin−xdx 

=2lnsinx−dx=2lnsinxdx 



然後，利用上面兩式，可得如下

202lnsinxdx 

=02lnsinxdx+02lncosxdx 


=02lnsinx+lncosxdx 


=02ln2sin2xdx 


=02lnsin2xdx−02ln2dx 

=0lnsinx2dx−02ln2dx 

=2102lnsinxdx+2lnsinxdx−02ln2dx 

=02lnsinxdx−02ln2dx 


因此，

02lnsinxdx=−02ln2dx=−2ln2 





題目出處：99台中一中教甄

02lnsinxdx 

其實是一個暇積分(improper integral). 在算此積分之前應該要了解他是收斂的.

也可以直接用極限來做:(以 99台中一中教甄題 為例 )
其中需用到公式:

sin2k+1sin22k+1sin32k+1sin2k2k+1=22k2k+1

0lnsinxdx=limnn(lnsinn+lnsinn2++lnsinn(n−1)) 


=limnn1ln(sinnsinn2sinn(n−1))

=limk12k+1ln(sin2k+1sin22k+1sin2k2k+1)


=limk12k+1ln(22k2k+1)


=limk2k+1ln(2k+1)−ln22k


=limk2k+1ln(2k+1)−2kln2

=limk2+1kkln(2k+1)−2ln2


=20−2ln2


=−ln2

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-2-14 11:39 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 Joy091 於 2011-2-14 09:42 AM 發表
也可以直接用極限來做: (以 99台中一中教甄題 為例 )
其中需用到公式:

sin2k+1sin22k+1sin32k+1sin2k2k+1=22k2k+1

...

讚!很漂亮的作法,到後面sin(pi/n)*sin(2pi/n)*........*sin[(n-1)pi/n]=n/2^(n-1)  其實就是一個公式
可以直接做,不需再透過n=2k+1來處理

補充趨近於0時，函數收斂

20210809_214834.jpg (1.19 MB)

2021-8-9 21:49