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標題: 2014TRML [打印本頁]

作者: dtc5527 時間: 2014-8-21 14:32 標題: 2014TRML

這次只有LibreOffice檔，沒有MS Office Word檔。

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TRML1999-2007
http://sites.chhs.hcc.edu.tw/shu ... ie-shi-ti-1999-2007

寸絲部落格也有題目和詳解
http://tsusy.wordpress.com/category/%E6%95%B8%E5%AD%B8/trml/

103.11.20補充
2006~2013歷屆試題詳解
http://203.72.198.200/sections/3150/pages/7369?locale=zh_tw

110.5.3補充
從\(z^{2014}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。
(2014TRML個人賽，106松山工農代理，https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html)

從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。
(109中壢高中代理，happysad解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461)
(110桃園高中，https://math.pro/db/thread-3512-1-1.html)

附件: 2014TRML LibreOffie檔.zip (2014-8-21 21:34, 478.54 KB) / 該附件被下載次數 13299
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2532&k=ed16022aa27a362eacdfec3fa6622896&t=1713439099

作者: dtc5527 時間: 2014-8-26 11:21 標題: TRML 團體賽2014

求解ˇˇ

2014TRML團體賽
5.
已知正數x,y,z滿足\( 4x^2+y^2+2z^2=10 \)，則\( \sqrt{2xy}+3z \)的最大值為　　。
8.
若\( tan20^{\circ}+4sin20^{\circ} \)之值為a，則\( a^2= \)　　。

作者: tsyr 時間: 2014-8-26 14:51 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

5.
\( \displaystyle 4x^2+y^2+2z^2=10 \to 5-z^2=\frac{4x^2+y^2}{2}\ge 2xy \)

\( \to \sqrt{2xy}+3z \le \sqrt{5-z^2}+3z=\sqrt{5(1-cos^2 a)}+3 \sqrt{5}cos a=\sqrt{5}sin a+3 \sqrt{5}cos a \le 5 \sqrt{2} \)
(上式令\( z=\sqrt{5}cos a \)再用三角疊合)

8.
\( \displaystyle a=tan20^{\circ}+4sin20^{\circ}=\frac{sin20^{\circ}+2(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})}{cos20^{\circ}}=\frac{sin20^{\circ}+2sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{cos20^{\circ}} \)

\( \displaystyle =\frac{sin20^{\circ}+2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos20^{\circ}-\frac{1}{2}sin20^{\circ})}{cos20^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}cos20^{\circ}}{cos20^{\circ}}=\sqrt{3} \)

\( a^2=3 \)

作者: tsusy 時間: 2014-8-26 15:05 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

團體 5. 由柯西不等式有 \( (4x^2 + y^2 + 2z^2)(1+1+18) \geq (2x + y + 6z)^2 \)

再由算幾不等式有 \( 2x + y \geq 2 \sqrt{2xy} \)

結合兩式得 \( 10 \times 20 = (4x^2 + y^2 + 2z^2)(1+1+18) \geq 4 (\sqrt{2xy} + 3z)^2 \)

故 \( \displaystyle \sqrt{2xy} + 3z \leq \sqrt{\frac{200}{4}} = 5 \sqrt{2} \)

依等號成立條件，可找到(驗證) \( \displaystyle x = \frac{1}{2\sqrt{2}}, y =2x. z=6x \) 時達最大值 \( 5 \sqrt{2} \)

作者: dtc5527 時間: 2014-8-29 12:46 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

結合科西及算幾不等式，讚。

作者: bch0722b 時間: 2014-9-11 21:40

問一下
同分賽
坐標平面上到兩直線 y= 2 x 及 y = −2 x 的距離之和小於或等於 12 的點所形成的區域面積為 ?
求純幾何解法。

作者: thepiano 時間: 2014-9-12 12:36 標題: 回復 6# bch0722b 的帖子

由於對稱，先只考慮第一象限的點

(1) 該點在 x 軸上
該點到 y = 2x 和 y = -2x 的距離相等，該點從原點出發一直到 A(3√5，0)，該點到 y = 2x 和 y = -2x 的距離和都 ≦ 12

(2) 該點在 y 軸上
該點到 y = 2x 和 y = -2x 的距離相等，該點從原點出發一直到 B(0，6√5)，該點到 y = 2x 和 y = -2x 的距離和都 ≦ 12

(3) 該點在 y = 2x 上
該點從原點出發一直到 C(3√5，6√5) ，該點到 y = -2x 的距離都 ≦ 12

易知在矩形 OACB 內及其周界上點都符合題意

所求 = 3√5 * 6√5 * 4 = 360

作者: tsyr 時間: 2014-9-15 20:46

恩~~
今年trml真令人跌破眼鏡，今年個人賽全國有7人全對，有4位是國中生，其中又有一位是全國金牌獎!
不知大家的看法如何?到底是國中生越來越強，還是~~高中生能力有待加強??
回顧今年trml題目其實並沒有很難的題目，不過這種結果的確出乎意料!!
或者說拚imo的高手們不習慣寫這種比速度的競速型比賽，而是喜歡長久思考的樂趣!?

作者: 瓜農自足 時間: 2015-3-12 21:41

想請教團體賽#9 先謝謝!

若實數\(a\)使得方程式\(5x^3-5(a+2)x^2+(76a-1)x-132a+2=0\)的三個根均為正整數，則\(a=\)　　　。

作者: thepiano 時間: 2015-3-12 22:07 標題: 回復 9# 瓜農自足的帖子

團體賽第9題
易看出有一根為2
原題簡化為\(5{{x}^{2}}-5ax+\left( 66a-1 \right)=0\)的兩根均為正整數
……

作者: weiye 時間: 2015-8-9 22:46

團體賽第1題：設 \(\sqrt{2014}\) 的小數部分為 \(a\)，若正整數 \(n\) 滿足\(\displaystyle\frac{n}{88}<a<\frac{n+1}{88}\)，則 \(n=\)_______。

解答：

\(\displaystyle44^2=1936, 45^2=2025\Rightarrow 88a=88\left(\sqrt{2014}-44\right)=88\cdot\frac{78}{\sqrt{2014}+44}\)

因為 \(44<\sqrt{2014}<45\)，所以 \(\displaystyle88\cdot\frac{78}{45+44}<88\frac{78}{\sqrt{2014}+44}<88\cdot\frac{78}{44+44}\)

\(\Rightarrow 77.xxx<88a<78\)

\(\Rightarrow n=77\)

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