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2007TRML

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2007TRML

想請教個人賽I-6、I-8,團體賽6.9
謝謝回答~

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2007individual.pdf (93.49 KB)

2012-8-11 16:16, 下載次數: 4199

2007team.pdf (80.1 KB)

2012-8-11 16:16, 下載次數: 4147

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回復 1# may513 的帖子

I-6
大圓的半徑為6,小圓的半徑為2,\(A\)在大圓的圓周上且為小圓的圓心,\(\overline{BC}\)為大圓的弦且與小圓相切。若\(\overline{AB}=8\),則\(\overline{AC}=\)   
[解答]
令小圓與 \( \overline{BC} \)  的切點為 \( D \) , \( \theta=\angle ABC \)

則 \( \sin\theta=\frac{2}{\overline{AB}}=\frac{1}{4} \)

令大圓之圓心為 \( O \) , 則 \( \angle AOV=2\theta\Rightarrow\overline{AC}=2\cdot6\cdot\sin\theta=3 \)

I-8
設數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)且\(a_2=96\)。已知此數列前2005項的和等於2006,則此數列前2007項的和等於   
[解答]
\( a_{1} , a_{2} , a_{2}-a_{1}, a_{4}=-a_{1} , a_{5}=-a_{2} , a_{6}=-a_{3} \Rightarrow a_{k+3}=-a_{k}\Rightarrow \) 六個一循環且連續 6  項之和為 0

\( 2005=6\cdot334+1\Rightarrow a_{1}=a_{2005}=2006 \)

\( \sum\limits _{k=1}^{2007}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2a_{2}=192 \)

Team 6
所有使得\(n \cdot 2^{n-1}+1\)為完全平方數的正整數\(n\)之和為   
[解答]
若 \( n>1 , n\cdot2^{n-1}+1 \)  為奇數,若為完全平方數。令 \( n\cdot2^{n-1}+1=(2k-1)^{2} \) (\( k\in\mathbb{N} \)) \( \Rightarrow n\cdot2^{n-3}=k(k-1) \)

若 \( n\geq3 \), \( 2^{m-3}\in\mathbb{N} \), \( k\) 和 \(k-1 \) 必有一奇數,與 \( 2^{n-3} \) 互質,因此其一為 \( n \) 之因數 \( \Rightarrow k\leq n+1\)

\( \Rightarrow n\cdot2^{n-3}\leq(n+1)\cdot n\Rightarrow2^{n-3}\leq n+1 \)

但 \( n\geq6 \) 時此不等式必不成立。因此只需再檢驗 \( n=1,2,3,4,5 \),可得 \( n=5 \) 唯一解。

110.8.12thepiano補充
設\(n\)為正整數,滿足\(n\cdot 2^{n-1}+1\)為完全平方數的\(n\)值共有多少個?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5
(110香山高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3532&page=1#pid23280)


Team 9
設空間中有一質點,每一次移動的規律是由點\((a,b,c)\)移至點\((2b-c,a-b+c,2b-a)\)。若該質點由\((A,5,B)\)出發,經過數次移動後可到達點\((24,-16,25)\),則\(A+B=\)   
[解答]
注意 \( x+y \)  是定值,即 \((2b-c)+(a-b+c)=a+b \) 。

因此 \( A+5=24-16\Rightarrow A=3 \) ;同理 \( y+z \) 亦為定值,可得 \( B=4 \)
網頁方程式編輯 imatheq

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