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想問13, 20
非常感謝

2.
若數列an滿足a1=1，an=an−11+2an−1，n2，nN，則an=　　　。(以n表示)
[提示]
1an=an−11+2an−1=1an−1+2

擷取部分內容https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668&page=1#pid8732
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從anan−1an−2an−4，看出an=an−4數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？

回到這題若計算不動點x=x1+2x，x+2x2=x，x=00不動點相同而且是0，那要怎麼算

3.
Sn=31!+2!+3!+42!+3!+4!++n+2n!+(n+1)!+(n+2)!=　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求31!+2!+3!+42!+3!+4!++20042002!+2003!+2004!的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
k+2k!+(k+1)!+(k+2)!=k+2k!(1+k+1+(k+1)(k+2))=k+2k!(k+2)2=1k!(k+2)=k+1(k+2)!=(k+2)!(k+2)−1=1(k+1)!−1(k+2)!

4.
設n為自然數，若C0n+21C1n+31C2n++1n+1Cnn=4095n+1，則n=　　　。

試求C021+21C121+31C221+41C321++122C2121=　　　。
(100文華高中代理，weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636)

7.
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人，每人都會洗碗，也會做飯，但每餐飯，做飯者不洗碗，某假日午、晚兩餐，做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有　　　種情形。
107新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html

9.
有一種被稱作『1A2B』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由0129當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字。每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『mAnB』﹐其中mA表示所猜的數字當中有m個不但猜中了而且數字是在正確的位置，nB表示所猜的數字當中有n個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『1A2B』，假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『1A3B』且在第2次猜到『4A0B』的機率是　　　。

有一種被稱作『mAnB』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由0129當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字，每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『mAnB』﹐其中mA表示所猜的數字當中有m個不但猜中了而且數字是在正確的位置，nB表示所猜的數字當中有n個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『1A2B』。
(1)猜題者在第1次就猜到『1A3B』的機率是　　　。
(2)假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『1A3B』且在第2次猜到『4A0B』的機率　　　。
(98國立大里高中段考試題，連結已失效h ttp://teacher.dali.tc.edu.tw/shchmath/download.php?f=usual/098-1/one/098-1-1-3a.doc)

10.
A柱中有n個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊，若要從A柱全部搬移至B柱，每次只能搬動一圓盤，且每次都必須先經中間柱（不可由A直接放入B）且大盤不可放在小盤之上，設共要搬動an次﹐若an+1=pan+k，求數對(p,k)=　　　。
(100育成高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1204&page=1#pid5400)

12.
矩形ABCD中，\overline{AB}=2\sqrt{6}，\overline{BC}=6\sqrt{2}，以\overline{AB}、\overline{AD}為直徑作半圓交於P，則鋪色區域面積為　　　。

矩形ABCD中，\overline{AB}=\sqrt{6}，\overline{BC}=3\sqrt{2}，以\overline{AB}、\overline{AD}為直徑作半圓交於P，則鋪色區域面積為　　　。
(107新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html)

14.
n\in N，若(1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}，其中a_n,b_n為有理數，則\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470

18.
袋中有4紅球, 6白球今自袋中，每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球個數的機率為何？

袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。取球過程中，紅球個數不多於白球個數之機率為　　　。
(97家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=2#pid14524)

19.
桃高實驗室針對800件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組8件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性機率都是0.2，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可。當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組8件血液樣本逐一檢驗。依上述檢驗方式，此800件血液樣本檢驗次數的期望值為　　　。

針對900件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組9件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性的機率都是0.1，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可；而當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組9件血液樣本逐一檢驗，此情況下總共需要10次的檢驗。依檢驗方式，此900件血液樣本檢驗次數之期望值為何？
(1)900(1-0.1)^9　(2)900(1-0.9^9)　(3)900(1-0.9^{10})　(4)1000(1-0.9^9)　(5)1000(1-0.9^{10})
(大學入學考試中心 學科能力測驗數學考科考試說明，https://www.ceec.edu.tw/files/fi ... AE%9A%E7%A8%BF).pdf)

20.
從z^{2020}=1的所有複數根中，任選相異兩根z_1,z_2，則\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}的機率為　　　。
(109中壢高中代理，happysad解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461)

從z^{2014}=1的所有複數根中，任選相異兩根z_1,z_2，則\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}的機率為　　　。
(106松山工農代理，https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html)
(2014TRML個人賽，https://math.pro/db/thread-2028-1-1.html)

引用:

原帖由 lulu25 於 2021-5-1 21:50 發表
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#13
已知z\ne 1，且z^7=1，求z+z^2+z^4=　　　。
[解答]
令w為x^7=1的一根
則w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6= -1
且(w+w^2+w^4)(w^3+w^5+w^6)=2
所以(w+w^2+w^4)及(w^3+w^5+w^6)為X^2+X+2=0的兩根
所求w+w^2+w^4= (-1+√ 7*i)/2或 (-1-√ 7*i)/2

\omega 為 z^7=1 之虛根，試求
甲、以 \omega+\omega^2+\omega^4 ， \omega^3+\omega^5+\omega^6 為兩根之二次方程式
乙、求 \omega+\omega^2+\omega^4 之值
(99屏東女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2649)

113.4.25補充
設虛數z滿足z^7=1，求z+z^2+z^4=？
(113彰化高中，https://math.pro/db/thread-3847-1-1.html)

20
從z^{2020}=1的所有複數根中，任選相異兩根z_1,z_2，則\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}的機率為　　　。
[解答]
設  \theta 為相鄰兩點最大容忍的圓心角
\displaystyle \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2\times1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
因此 \displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}
\displaystyle \frac{2\pi}{2020}x<\frac{\pi}{6} 得 x\leq168(相鄰兩點最多只能隔168個間隔)
因此任取兩點滿足條件的機率為 \displaystyle 1\times \frac{168\times2}{2020-1}=\frac{112}{673}

我的想法是 第一次 1A3B  機率是 C(4,4)*C(4,1)*2/P(10,4)  其中 C(4,1)*2 為 某個位置對 另外三個皆不對的可能性
                   第二次 4A  則是 1/4!
但算出來跟答案不太一樣 可以請教一下哪邊有疏漏嗎??

1 A 3 B 後，知道有一個位置對了，不可能把 4 個數字都大風吹了

先任猜一個位置是對的，剩下三個位置有 2 種猜法
從 1 A 3 B 到 4 A 的機率是 1 / (4 * 2)

原來如此  感謝~

請問15題怎麼算？

第 15 題
n\in N，已知a_1=1，且\displaystyle \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}時，f(x)=a_n x^n，若f(x)在區間(0,1]為連續，則a_n=　　　。
[解答]
1/2 < x <= 1，f(x) = (a_1)x
1/3 < x <= 1/2，f(x) = (a_2)x^2
1/4 < x <= 1/3，f(x) = (a_3)x^3
:
:
由於 f(x) 在 (0，1] 連續
(a_1)(1/2) = (a_2)(1/2)^2
a_2 = 2a_1

(a_2)(1/3)^2 = (a_3)(1/3)^2
a_3 = 3a_2

a_1 = 1，a_n = n!

同「106臺中一中」第10題