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101 文華高中(含計算題)

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引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-3 09:00 AM 發表


請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多,若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為    z^101= z'  ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到   z^102 =z*z' = 1  ----(2)
...
您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i

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嗯...感謝...^^"..第二個用錯了方法....謝囉!!!
引用:
原帖由 arend 於 2012-5-3 04:54 PM 發表
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對

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想請教填充第13題的N要如何求?
另外填充第14題本人將4個頂點座標化
,C(0,0,0)D(6,0,0)B(1,根號24,0)A(3,根號6/3,根號138/3)
計算並不困難(不好意思,我是電腦白癡)

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-3 06:03 PM 發表


您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i
原來是這樣,這樣觀念上就補足了,感謝

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6.
一個實係數三次多項式函數通過\( (101,2012) \)、\( (99,2008) \)、\( (102,2005) \)、\( (103,2016) \)四點,求此函數的切線中,斜率最小的切線所在的直線方程式為?
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99,向下平移2008
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & y & & 4 & & -3 & & 8 \cr
& y & & 4-y & & -7 & & 11 & \cr
& & 4-2y & & y-11 & & 18 & &  \cr
& & & -15+3y & & 29-y & & &  } \)
三次多項式在三階差分時會相等
\( -15+3y=29-y \),\( y=11 \)

\( f(n)=0 \times C_0^n+11 \times C_1^n-18 \times C_2^n+18 \times C_3^n=3n^3-18n^2+26n \)
\( f(x)=3x^3-18x^2+26x \)
\( f'(x)=9x^2-36x+26=9(x-2)^2-10 \)
過點\( (2,4) \)有最小斜率-10
平移回去
過點\( (101,2012) \)有最小斜率-10
切線方程式為\( y-2012=-10(x-101) \),\( 10x+y=3022 \)

9.
有一組正整數\( a_2 \),\( a_3 \),\( a_4 \),\( a_5 \),\( a_6 \),\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \),其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7),求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7) \)

有唯一一組整數\( a_2 \),\( a_3 \),\( a_4 \),\( a_5 \),\( a_6 \),\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \),其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7),求\( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7= \)?
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
(97台南縣國中聯招,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888)

There are unique integers \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \) such that \( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \), where \( 0 \le a_i < i \) for i=2,3,4,5,6,7. Find \( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 \).
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12
(1999AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999)

11.
實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \)),則數對\( (a,b) \)有組解

Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2002)

13.
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+...+10! \),若\( a_8=55M \),\( a_7=55^2 N \),其中M、N為正整數,求數對\( (M,N)= \)?

thepiano所提供的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的,想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場,請參閱附加檔案

15.
四邊形ABCD,\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \),求四邊形ABCD的所有內切圓中,面積最大者為
(2011中文版AMC12,https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

Consider all quadrilaterals ABCD such that \( \overline{AB}=14 \), \( \overline{BC}=9 \), \( \overline{CD}=8 \), \( \overline{DA}=12 \). What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2011)

計算題2.
設\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] \),若\( a_n \),\( a_0 \),\( f(1) \)均為奇數,試證:方程式\( f(x)=0 \)沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf)

附件

補充資料.rar (1.46 KB)

2012-5-4 19:46, 下載次數: 3442

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引用:
原帖由 老王 於 2012-5-2 08:37 PM 發表
四面體ABCD的體積公式,我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)
請問有人用這公式求過四面體體積嗎? 我求不出來是4根號23?

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請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人

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回復 56# mandy 的帖子

剛剛花了五分鐘確認,答案的確是\( 4\sqrt{23} \)
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 老王 於 2012-5-4 10:11 PM 發表
剛剛花了五分鐘確認,答案的確是\( 4\sqrt{23} \)
我按了計算機得 288V^2=126050 ---->並不能得出V=4根號23 ? 請問那裡有問題?

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回復 59# mandy 的帖子

(1)
如果是 計算機 按錯
麻煩再按一次
(2)
可以請問你的 五階行列式
是如何用計算機求值嗎?
三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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