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101 文華高中(含計算題)

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第二題
請問如何證明

我剛想了一下
我的初淺想法是

a_n  a_0 與f(1)都是奇數

若px+q為f(x) 的因式 (p,q)=1

p|a_n , q|a_0    , 所以p , q都是奇數 ,p+q必為偶數

又因px+q|f(x)   當x=1, p+q|f(1)    不合

因為f(1)為奇數

若有疏漏或邏輯缺失
請版上高手能不吝指教

謝謝

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我昨天去考,第二部分的填充題。

我記得第二部分的填充題,有一題是高斯函數,\(\displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]=?\)


102.10.12補充
這裡有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

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第二部分,填充題最後一題,下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-29 09:47 AM 編輯 ]

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圖形2.jpg (18.04 KB)

2012-4-29 09:47

圖形2.jpg

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剛剛看了一下1111教職網公布的資料。昨天文華兩個數學缺,四百多人考。競爭真的是激烈。大家加油了

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回復 13# shingjay176 的帖子

下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法



解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n 
 請見:https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

最後塗 HIJ 區域,有 \(3^3\) 種塗法。


所以,所求為 \(5\cdot\left(3\cdot\left(-1\right)^6+3^6\right)\cdot3^3=98820\)

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-4-29 09:41 AM 發表
我昨天去考,第二部分的填充題。
用LOG討論一下就可以了
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

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解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份 ...
這題如果不用已知的那個扇形結論的話,

應該只需討論三個同色異色而已 (如F,D,B)

之前有遇過類似的題目,我是這樣討論的

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-29 05:44 PM 編輯 ]
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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計算1:
和lianger老師相同方法
基本上還是要用到一點線性代數的方法會比較方便
但我是另外驗證a,b,c,d皆不可能是0
所以過程比lianger老師複雜一點點


計算2:
只要用一次因式檢驗法的概念和奇偶數分析就可以瞬間證畢  ^^!!
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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第三題
\(\displaystyle p^2+5pq+q^2=7^{101} \)

對\( p \)而言是二次方程式,判別式為
\(\displaystyle 25q^2-4(q^2-7^{101})=21q^2+4 \times 7^{101}=7(3q^2+4 \times 7^{100}) \)

若\( p \)為整數,那麼判別式必須是完全平方數,因此知道
\(\displaystyle 3q^2+4 \times 7^{100} \)要是7的倍數
也就可以推出\( q \)為7的倍數
那麼\( p \)就是7的倍數
假設\( p=7p_1,q=7q_2 \)
於是得到
\(\displaystyle p_1^2+5p_1q_1+q_1^2=7^{99} \)

重覆這些步驟最後得到
\(\displaystyle P^2+5PQ+Q^2=7 \)

顯然有\( P=Q=1 \)
所以
\(\displaystyle p=q=7^{50} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-30 05:01 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

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解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份 ...
請教老師一下

若不代公式
直接以(BF同色,BF不同色)來做
4x3x3x3x1x3+4x3x3x3x2x2

結果會不一樣
請問這錯在哪裡(這問題困擾我很久)
我是以原始的遞廻來看,用 a_1與a_n-1同色與不同色,

謝謝

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