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101文華高中(含計算題)

回復 79# nanpolend 的帖子

填充 7
將一列n(n2)的小方格中最左邊的黑棋向右移動,每次移動1或2格,直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有an種移動方法,每種移動方法的機會均等,「移動次數」的期望值為En,求數對(a7E7)   
●○○○○○○
[解答]
an 滿足遞迴式 an+2=an+1+an

En 也可以遞迴 En+2=an+1En+1+anEnan+2+1 

可改寫為 an+2En+2=an+1En+1+anEn+an+2

an=11235813, anEn=0137153058

En=0123375158301358
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回復 80# nanpolend 的帖子

B  的分角線為  L, A 對 L 的對稱點為 A, AA 和 L 的交點為 H

不難發現 ABHABH 或是 ABA 是等腰三角形

ABH=ABH  因此 A 必在射線 BC 上
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回復 15# weiye 的帖子

找想算出通項,可是卻萛不出(k1)(1)n+(k1)n,可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧

an+an1=k(k1)n1

kan=kan1+(k1)n1

bn=kan,則bn=bn1+(k1)n1

bn+1k(k1)n=[bn1+1k(k1)n1]

bn+1k(k1)n=[b1+1k(k1)](1)n1,而bn=1

bn=k1(k1)n+[1+1k(k1)](1)n1=k1(k1)n+k1(1)n1=k1[(k1)n+(1)n1]

an=kbn=(k1)n+(1)n1

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回復 83# martinofncku 的帖子

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字,也就是 a1+a2 該式並不成立

因此往回推不能推到底,如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 b2a2 也就是 n=3, a3+a2=k(k1)2

再算出 a2=k(k1) ,以之代入

即以下

bnk1(k1)n=b2k(k1)2(1)n2 

bn=k1(k1)n+kk(k1)k(k1)2(1)n2 

  an=(k1)n+(1)n(k1)
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第14題
空間中,四面體ABCDAB=CD=6AC=AD=BC=5BD=7,求四面體ABCD的體積為   
[解答]
請賜教
https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m

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回復 85# sstranger 的帖子

第 14 題
空間中,四面體ABCDAB=CD=6AC=AD=BC=5BD=7,求四面體A-BCD的體積為   
[解答]
另解,僅供參考。

多喝水。

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回復 75# weiye 的帖子

為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

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回復 87# YAG 的帖子

題目有要求 0\leq a_2<2  (0\leq a_i<i),

所以 a_2 不可能是 3,只有可能是 01

不過如你所說,解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。

多喝水。

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回復 86# weiye 的帖子

比我的簡單多了,感謝

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引用:
原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?
因為題目出的是真分數,所以 a_2 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數,那除以 2 就有目的了。

例如:\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}

   其中 a_1\in\mathbb{N}0\leq a_i<i, for i=2,3,4,5,6,7

則解答: \displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}

        \displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}

        \displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

        \displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

所以 a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5

多喝水。

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