填充 7
將一列n(n2)的小方格中最左邊的黑棋向右移動，每次移動1或2格，直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有an種移動方法，每種移動方法的機會均等，「移動次數」的期望值為En，求數對(a7E7)為　　　。
●○○○○○○
[解答]
an 滿足遞迴式 an+2=an+1+an

而 En 也可以遞迴 En+2=an+1En+1+anEnan+2+1 

可改寫為 an+2En+2=an+1En+1+anEn+an+2

an=11235813, anEn=0137153058

而 En=0123375158301358

令 B  的分角線為  L, A 對 L 的對稱點為 A, AA 和 L 的交點為 H

不難發現 ABHABH 或是 ABA 是等腰三角形

故 ABH=ABH  因此 A 必在射線 BC 上

找想算出通項,可是卻萛不出(k−1)(−1)n+(k−1)n,可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧

an+an−1=k(k−1)n−1

kan=−kan−1+(k−1)n−1

令bn=kan，則bn=−bn−1+(k−1)n−1

bn+1−k(k−1)n=−[bn−1+1−k(k−1)n−1]

bn+1−k(k−1)n=[b1+1−k(k−1)](−1)n−1，而bn=1

bn=k1(k−1)n+[1+1−k(k−1)](−1)n−1=k1(k−1)n+k1(−1)n−1=k1[(k−1)n+(−1)n−1]

an=kbn=(k−1)n+(−1)n−1

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字，也就是 a1+a2 該式並不成立

因此往回推不能推到底，如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 b2 或 a2 也就是 n=3, a3+a2=k(k−1)2

再算出 a2=k(k−1) ，以之代入

即以下

bn−k1(k−1)n=b2−k(k−1)2(−1)n−2 

bn=k1(k−1)n+kk(k−1)−k(k−1)2(−1)n−2 

  an=(k−1)n+(−1)n(k−1)

第14題
空間中，四面體A−BCD，AB=CD=6，AC=AD=BC=5，BD=7，求四面體A−BCD的體積為　　　。
[解答]
請賜教
https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m

第 14 題
空間中，四面體A−BCD，AB=CD=6，AC=AD=BC=5，BD=7，求四面體A-BCD的體積為　　　。
[解答]
另解，僅供參考。

2013-04-12 16.15.36.jpg (979.34 KB)

2013-4-12 16:19

為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

題目有要求 0\leq a_2<2　　（0\leq a_i<i），

所以 a_2 不可能是 3，只有可能是 0 或 1。

不過如你所說，解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。

比我的簡單多了，感謝

引用:

原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

因為題目出的是真分數，所以 a_2 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數，那除以 2 就有目的了。

例如：\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}

　　　其中 a_1\in\mathbb{N} 且 0\leq a_i<i, for i=2,3,4,5,6,7

則解答： \displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

所以 a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5