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101 文華高中(含計算題)

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回復 30# weiye 的帖子

剛剛又重試了一下

15 題

令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \),由對角線長和餘弦得

\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)

\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)

\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)

\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)

而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)

等號成立條件為,即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時,四邊形為圓內接四邊形。

\( r \)  有最大值,但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢?

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-1 07:50 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 31# tsusy 的帖子:

請問寸絲老師,是否可以這樣解釋:
因為四個邊不能唯一決定四邊形,故我們可取圓內接四邊形的時候讓等號成立
不知這個想法有無瑕疵?

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算?是知道要算三三乘積和
但不知如何下手,謝謝

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-1 07:56 PM 編輯 ]

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回復 32# hua0127 的帖子

你太客氣,我也只是考場眾生的一員而已。

如你所說,四邊形不唯一,所以可以調整大小,

所以剩下的事,只是說明此時內切圓存在。

注意,題目給的邊是對邊和相等,如果沒這個條件的話,

是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。

而內切圓的存在,但似乎只要凸四邊 + 對邊相等,就會存在切四個邊的內切圓。

想法上,由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。

再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等,強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。

至於凸,應該是要用到切線邊,是不是切到邊延長的直線。

以上是寸絲的想法,但覺得有點小麻煩,應該有更乾淨俐落的辦法吧?
文不成,武不就

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引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-1 07:52 PM 發表

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算?是知道要算三三乘積 ...
請看下面連結~

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785

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請問填充第3題如何求?

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請問填充第一題,除了用n趨近無限大,相交圖形接近正方形
是否有其他作法呢?

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15題參考資料
數學傳播 十七卷三其 民82年9月
蔡聰明 四邊形的面積

面積 S = \( \sqrt{ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)  - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot cos^2 ( \frac{B+D}{2} ) }  \)

最大值 出現於 B+D =180度 即 圓內接四邊形

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 03:39 PM 編輯 ]

附件

17304.pdf (418.94 KB)

2012-5-2 06:47, 下載次數: 3688

四邊形的面積

三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表

注意,題目給的邊是對邊和相等,如果沒這個條件的話,

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy~對邊和相等 這句話直接切入我的盲點
這樣似乎一切合乎情理

另外感謝 Ellipse 兄 以及 彬爸 提供了參考的資料

填充第三題我是這樣考慮 如附件

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-2 10:30 AM 編輯 ]

附件

101 文華高中 填充第三題.pdf (42.42 KB)

2012-5-2 10:29, 下載次數: 3291

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請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!

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填充14

公式 及 推導 請參閱 附件 第18,19頁

\( a= \overline{BC} =5 \)
\( b= \overline{CA} =5 \)
\( c= \overline{AB} =6 \)

\( \alpha = \overline{DA} =5  \)
\( \beta = \overline{DB} =7  \)
\( \gamma = \overline{DC} =6  \)

\( \displaystyle V^2= \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\;  \)   

\( \displaystyle = \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \cdot 5^2 & 5^2 + 7^2 -6^2 & 5^2 + 6^2 -5^2 \cr 5^2+7^2-6^2 & 2 \cdot 7^2 & 7^2+6^2-5^2 \cr 5^2+6^2-5^2 & 7^2+6^2-5^2 & 2 \cdot 6^2 } \Bigg|\;  \)   

\( =\frac{105984}{288} =368 \)

\( V=4 \sqrt{23} \)


[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 03:38 PM 編輯 ]

附件

040406.pdf (474.34 KB)

2012-5-2 15:37, 下載次數: 3492

六稜長球四面體體積

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