還沒算，不過應該是至少一正根就好

A= 1 3
      2 6
不過我怎麼算都算不出他們給的答案,還是我看錯A(???).

A的特徵多項式為t^2-7t=0,因此,A^2=7A
得到A^7=(7^6)A=(7^6)(3P+4Q),因此,a=3*(7^6),b=4*(7^6),
log(底12)1/ab=-log(底12)ab=-log(底12)12*(7^12)

女中跟南一中好像都沒公布題目...此風不可長啊
本周六小弟我會去文華努力把題目記下奶
到時候再跟大家一起分享

: 40個參賽隊伍,求任選3隊至少有2隊對打過的情形有多少種?
: 憑印象題目的意思大概如此~
: 請大大幫忙 感謝!
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   平分成兩邊    兩邊各20隊皆須連通
   2*C(20,2) = 380
   兩邊不平分成各為20隊時    答案皆大於380
   故最少380種

我印象中，題目是3^x-{[2(a-1)]/3^x}=(a-3) 有實數解，
分子a-1 前面還有一個數字2，這樣就能利用因式分解寫成 (3^x+2)[3^x-(a-1)]=0，解出3^x=a-1，-2(負不合)，所以a-1>0，a>1
頭一次在這邊回應，不知道這樣的解法對不對  ^^?

一直沒注意到題目公佈了

之前填充 11  一直算不出公佈的答案 580，而算出  579

不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。

考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解，

m	8	20	32	44
n	45	40	35	30

  當然後面還有，但後面的光偶數和就超過 2012 了剩下的，來檢驗一下
\( (m,n)=(8,45) \) 這組，45 個最小正奇數的和為 \( \frac{1+89}{2}\cdot 45= 2025 \) 超過 \( 2012 \)

\( (m,n)=(20,40) \), 最小的奇偶數和為 \( 20\cdot 21 + 40^2 =2020 \)

\( (m,n)=(32,35) \), 最小的奇偶數和為 \( 32\cdot 33 + 35^2 =2281 \)

而 \( (m,n)=(44,30) \) 這組，44 個最小正偶數的和為 \( \frac{2+88}{2}\cdot 44 = 44^45 = 1980 \) 再加上 30 個最小正奇數和 \( 900 \)


所以 580 這個數字，根本沒在值域裡，更何況最大值乎？！

而 579，可以找到 \( (m,n)=(15,42) \) 此時，最小奇偶數和為 \( 15\cdot 16 + 42^2= 2004 \)

再將其中一個奇數或偶數，換成大一點的，如把 30 換成  38，這樣和就剛好 2012 了

以上，如有錯誤，麻煩指正，謝謝

填充13題缺想法
請教大家

填充第 13 題：

\(\displaystyle\tan\left(\alpha_2-\alpha_1\right)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan30^\circ=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha_1\tan\alpha_2=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_2-\tan\alpha_1\right)\)

同理可得下列各式

　　\(\displaystyle \tan\alpha_2\tan\alpha_3=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_3-\tan\alpha_2\right)\)

　　\(\displaystyle \tan\alpha_3\tan\alpha_4=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_4-\tan\alpha_3\right)\)

　　‧‧‧‧‧且

　　\(\displaystyle \tan\alpha_{12}\tan\alpha_1=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_1-\tan\alpha_{12}\right)\)

上列各式相加，可得

　　\(\displaystyle\tan\alpha_1\tan\alpha_2 +\tan\alpha_2\tan\alpha_3 + \tan\alpha_3\tan\alpha_4+\cdots +\tan\alpha_{12}\tan\alpha_1 =-12.\)

昨天 拿到 官方版 題目

今天 期中考 監考 無聊 寫了一些

再加上 版上的討論

整理後 如 附件 請參考
如有 謬誤 還請 指正
(一修)原填充16題 解法有誤,已修正

第 12 題：
設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)　　　。
[解答]
彬爸的第 12 題解法好神~讚！

小弟提供一個比較凡人的做法~~

\(det(A-xI)=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow (x-3)(x-4)=0\)

令 \(x^7=(x-3)(x-4)q(x)+(mx+n)\)

\(x=3,4\) 帶入上式，可解得 \(m=4^7-3^7, n=4\cdot3^7-3\cdot4^7\)

因此，\(A^7=mA+nI=(4^7-3^7)(3P+4Q)+(4\cdot3^7-3\cdot4^7)(P+Q)=3^7\cdot P+4^7\cdot Q\)

\(\Rightarrow a=3^7, b=4^7\)






今天學校也期中考，小弟也邊監考邊寫這張～哈！

另外，第 6 題，我是令 \(p=\log_3 x, q=\log_3 y\)，

然後再用線性規劃，找 \(1+2p+q\) 最大值與最小值～再處理之。