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100麗山高中

回復 38# waitpub 的帖子

n 不可能是無限大,

r 也不可能是 1,

因為 \(100\leq a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n\leq 1000 \)

100 到 1000 中至多只有 901 個相異的數!

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回復 39# waitpub 的帖子

如附件的表格,由最左上角那一格填起,那一格只有兩種可能~:)

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qq.PNG (11.55 KB)

2011-11-24 20:26

qq.PNG

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9.
已知a,b為實數,若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除,則a=?
(1988AIME,94嘉義女中,2006TRML團體賽)
(100楊梅高中,https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)


12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值,且其公比為r,則此(n,r)=?

Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
http://www.math-olympiad.com/4th ... lympiad-1972.htm#10


已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽 獨立研究試題二,http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_02.pdf)


17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數,若規定『運算一次』如下:『消去其中兩數a,b,再加上另一數\( a+b+ab \)』,則經過2010次的『運算一次』後,只剩下一數,則此數為何?

已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數,規定「運算一次」如下:消去其中二數a,b,再加入另一數\( a+b+ab \),經過2007這樣的運算後只剩一數,試問此數為何?
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題,https://math.pro/db/thread-919-1-9.html)

已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數,規定“操作”一次如下:拿掉其中任兩數a,b後,其餘不動,再加入一數\( a+b+ab \),經過2000次這樣的操作之後只剩一數,求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯,2001TRML個人賽之解法,科學教育月刊,第244期
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/SECMonthly.htm

18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點,若\(\overline{CF}=1\),\(\overline{FG}=13\),\(\overline{AG}=2\),\(\overline{HI}=7\),則\(\overline{DE}=\)   

正三角形\(ABC\)交一圓於六個點,若\(\overline{AG}=2\),\(\overline{GF}=13\),\(\overline{FC}=1\),\(\overline{HJ}=7\),則\(\overline{DE}\)之長為   
(101高中數學能力競賽 台北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,由ABCDEF任取相異三點圍三角形,求此種三角形面積的期望值=?
(高中數學101 P286)

在半徑為1的圓上取6個六等分點,從中任取三點A,B,C,則ΔABC面積的期望值為?
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點,則此三角形周長的期望值為何?
(99清水高中,https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html)

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1972加拿大數學奧林匹亞.gif (69.43 KB)

2012-2-5 08:02

1972加拿大數學奧林匹亞.gif

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100麗山高中 填充題第七題

恰有連續63個連續的自然數,其平方根的整數部分是相同的,則此整數值為=?

請問瑋岳老師,這要從何下筆破題勒

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-15 10:43 AM 編輯 ]

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我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。

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全頁傳真列印.pdf (38.1 KB)

2012-4-15 12:50, 下載次數: 6319

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引用:
原帖由 weiye 於 2011-6-23 12:05 AM 發表
填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:

577


註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 http:/ ...
請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-4-15 12:50 PM 發表
我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-15 02:03 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 arend 於 2012-4-15 01:34 PM 發表


請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下
已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-15 03:11 PM 編輯 ]

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回復 44# shingjay176 的帖子

\( (n+1)^2-n^2=63 \)
解出 \( n \)之後從\( n^2 \)到\( (n+1)^2-1 \)
另外,為求閱讀順暢,請附圖檔,不要附pdf檔,感謝。

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-15 03:02 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 46# arend 的帖子

仔細看我之前回覆中的表格的話,

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

:)

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano 老師的解法,來解一下 \(b\)...(詳見如下或附件)

附件

填充9.doc (59.5 KB)

2012-4-15 23:45, 下載次數: 5646

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