第 5 題：
如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=　　　。
[解答]


如圖，延長題目的各線段，使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點，則

\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)

\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)

\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)

設 \(\overline{OF}=r\)

由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)

可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)

　　 \(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)

第5題另解
如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=　　　。
[解答]
直角\(\Delta OAB\)中，\(\overline{OB}^2=\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=r^2+6^2\)

\(\Delta OBD\)中，\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=2(\overline{OC}^2+\overline{CB}^2)=2(r^2+3^2)\)   (中線定理)

而得到 \(\overline{OB}^2=2(r^2+3^2)-\overline{OD}^2=2r^2+18-2^2=2r^2+14\)

故 \(r^2+6^2=2r^2+14\)

\(r=\sqrt{22}\)

第 24 題的第 2 小題：

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\)，

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 \(f(k)=f(k-1)+f(k-2),\forall k\geq 3\)

因此 \(f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13\)

故，

　　　　　　

所求 \(L\) 形圖騰的填磁磚方法數 \(=f(6)\times f(2)+f(4)\times f(4)-f(2)\times f(2)\times f(4)\)

　　\(=13\times 2+5\times 5-2\times2\times5\)

　　\(=31\) 種

可否請教weiye老師

您19題的孟氏定理的式子?

分點不是會共線嗎?

感謝您，我沒看好圖形，解法有誤，先拿掉了。：）

晚點繼續想～：Ｐ

第 19 題：
如圖(四)，\(\triangle ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)之中點，\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=16\)，\(E\)在\(\overline{AC}\)上，\(F\)在\(\overline{AB}\)上，且\(\overline{AE}=2\overline{AF}\)，則\(\overline{EG}:\overline{FG}=\)　　　。
[解答]
令 \(\overline{AF}=x\)

則 \(\overline{AE}=2x\)

因為 \(D\) 為 \(B,C\) 的中點，

所以 \(\displaystyle \vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\)

因為 \(\displaystyle \vec{AC}=\frac{16}{2x} \vec{AE}=\frac{8}{x} \vec{AE}\)

　且 \(\displaystyle \vec{AB}=\frac{12}{x} \vec{AF}\)

令 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}\)

則 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}=\frac{t}{2}\vec{AB}+\frac{t}{2}\vec{AC}=\frac{6t}{x}\vec{AF}+\frac{4t}{x}\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{EG}:\overline{FG}=\frac{6t}{x}:\frac{4t}{x}=3:2.\)

想請教第17題
感謝

第 17 題：
已知有\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{2011}\)共2011個數，若規定「運算一次」如下：「消去其中兩數\(a,b\)，再加上另一數\(a+b+ab\)」，則經過2010次的「運算一次」後，只剩下一數，則此數為何？　　　
[解答]
任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)


因此 \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots,\frac{1}{2011}\)

最後會剩下的數為 \(\displaystyle (1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\cdots(1+\frac{1}{2011})-1\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{2012}{2011}-1\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle =2012-1=2011\)

原來如此
雖說運算一次沒規定按順序
但若依次運算就更容易理解了
感謝 weiye大

想請教第23題
感謝