求空間中線段長

長方形ABCD中,已知AB=4,AD=3,沿著AC將平面ABC摺起使與平面ACD夾角為60度,求此時的BD長為何?

101.5.21版主補充
長寬方別為4,3的長方形ABCD沿對角線\( \overline{AC} \)摺成\( 90^o \)的兩面角(即平面ABC與平面ACD夾\( 90^o \))，求空間中B和D的距離？
(101台中二中，https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)

102.11.17版主補充
長方形ABCD中,AB=3,BC=4,現沿BD將三角形ABD折起,使平面ABD與平面BCD的夾角為60度,此時AC的距離?
出自http://www.tovery.net/guestbook. ... &page_=&qs=　542篇

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謝謝胡孟青老師提供很棒的詳解
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110.4.26補充
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿著對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ})\)，則\(\overline{BD}\)的長度為　　　(以\(\theta\)表示)。
(110台中一中，https://math.pro/db/thread-3506-1-1.html)

111.4.10補充
有一矩形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，將矩形沿\(\overline{BD}\)折起，使平面\(ABD\)與平面\(CBD\)的夾角為\(120^{\circ}\)，試求\(\overline{AC}=\)？
(111高雄中學，https://math.pro/db/thread-3619-1-1.html)

111.4.23補充
長方形紙片\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AD}=2\sqrt{3}\)，若將此長方形紙片沿\(\overline{AC}\)摺起，使\(\Delta ADC\)與\(\Delta ABC\)所夾的兩面角為\(30^{\circ}\)，此時\(\angle BAD=\theta\)，則\(cos\theta=\)　　　。
(111竹北高中，https://math.pro/db/thread-3629-1-1.html)

112.4.27補充
有長方形紙板\(ABCD\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{3}\)。若將沿對角線\(\overline{AC}\)摺起，使\(D\)至\(D'\)位置。由\(D'\)作平面\(ABC\)的垂線\(\overline{D'H}\)，其垂足\(H\)恰好在\(\overline{AB}\)邊上，此時平面\(ABC\)與平面\(ACD'\)所夾的銳角為\(\theta\)，試求\(tan\theta=\)　　　。
(112師大附中，https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html)

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如圖，作 BE⊥AC，且EF⊥AC，

由畢氏定理可求得 AC＝5，

然後 ΔABC 的斜邊上得高 BE＝12/5，

由畢氏定理，可得 CE 長，

由 ΔADC～ΔFEC 且 CE長，可得 EF 長、CF長，

　且 DF長＝DC長－CF長，

在 ΔBEF 中，利用餘弦定理，可得 BF 長，

在 ΔBFC 中，利用餘弦定理，可得 cos ∠BFC

且　cos ∠DFB = －cos ∠BFC

在 ΔBFD 中，利用餘弦定理，可得 BD 長。

補充類似問題
將長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}= a \)，\( \overline{BC}= b \)，則以a，b表示\( \overline{BD} \)之長 =。
(94台中縣高中聯招)

矩形ABCD的一边\( \overline{AB}=\sqrt{2} \)，由顶点B、D引对角线AC的垂线，垂足E、F恰将AC三等分，沿AC将此矩形对折，使得△ACD所在平面与△ABC所在平面垂直，求折起后点B、D之间的距离。
(新奧數教程　高二卷　第9講　截面、摺疊和展開)

101.4.8補充
直角梯形ABCD中，\( \overline{AB}// \overline{CD} \)，\( ∠D=90^o \)，\( \overline{AB}=\overline{AD}=a \)，\( \overline{CD}=3a \)，沿\( \overline{BD} \)將梯形折成\( 60^o \)的二面角，試求：此時A與C的距離為？
(99中壢高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2331)

(新奧數教程　高二卷　第9講　截面、摺疊和展開)

102.5.25補充
將桌上一長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}=\sqrt{7} \)，\( \overline{BC}=\sqrt{2} \)，則空間中\( \overline{BD} \)長為
(A)\( \displaystyle \frac{\sqrt{18}}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{28}}{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{\sqrt{53}}{3} \)　(D)\( \displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3} \)
(102全國聯招，https://math.pro/db/thread-1620-1-1.html)

105.5.26補充
矩形ABCD的一邊\(\overline{AB}=\sqrt{2}\)，由頂點\(B\)、\(D\)引對角線\(\overline{AC}\)的垂線，垂足\(E\)、\(F\)恰將\(\overline{AC}\)三等份，沿\(\overline{AC}\)將此矩形對折，使得\(\Delta ACD\)所在平面與\(\Delta ABC\)所在平面垂直，求折起後點\(B\)、\(D\)之間的距離。
(105大同高中二招，https://math.pro/db/thread-2515-1-1.html)

111.3.22補充
設長方形\(ABCD\)的長\(DA\)和寬\(AB\)分別為\(a\)和\(b\)(\(a>b\))，將\(\Delta ABD\)沿對角線\(BD\)翻摺，使\(AB⊥DC\)，則異面直線\(AB\)、\(CD\)的距離為　　　。
(1988上海市高中數學競賽)

101.6.24補充
在矩形ABCD中，若\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=2 \sqrt{3} \)，過\( \overline{AC} \)的中點O作\( \overline{EF} \perp \overline{AC} \)交\( \overline{AD} \)於E、交\( \overline{BC} \)於F，將平面ABFE沿\( \overline{EF} \)摺起，使得平面ABFE垂直平面CDEF，求此時\( cos∠BFC= \)？
(101陽明高中，https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html)

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設有一張長方形的紙ABCD，已知\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{BC}=4 \)，通過對角線\( \overline{BD} \)的中點M且垂直於\( \overline{BD} \)的直線分別交\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)於E、F兩點，當以\( \overline{EF} \)為折線把紙ABCD折起來，使得平面AEFD垂直於平面EBCF，此時若\( ∠CFD=\theta \)，\( 0<\theta<\pi \)，則\( cos \theta= \)？
(100學年度北區第二次模擬考數甲，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)

101,7,7補充
(101萬芳高中代理，https://math.pro/db/thread-1464-1-1.html)

感謝bugmens的圖使我受益良多

但小弟資質愚昧

請問當EFBC折上來後 為什麼角DMC為90度呢?

感謝

法線定理

完全了解了 非常感謝!!

長方形ABCD中,AB=3,BC=4,現沿BD將三角形ABD摺起,使平面ABD與平面BCD的夾角為60度,此時A到C的距離為?
答案:根號(193)/5
謝謝