請教填充第 2、7 題

112.04.26 補充數學科答案更正

填充第 8 題從 27 更正為 28
填充第 12 題從 X <= 13 更正為 0 <= X <= 13

備註：
1. 答案更正的公告不知道為何才過一個小時就下架了，還好有看到＠＠
2. 我發現學校第二次給的檔案，頁碼的字體跑掉，可能因為是不同電腦轉出來的。於是我編輯第一次的檔案，將這兩題答案改為更正後答案。
3. 當我編輯完，想要從校網重新下載檔案備份時，公告就被撤掉了，如果有老師有載到官網的檔案，希望可以分享上來，謝謝。
4. 謝謝 DavidGuo 老師發現試題答案有誤，若考生發現答案有誤，建議趕快打電話聯繫該校教務處，在這麼艱難的考試中，每一分都很重要！

112學年度第1次專任教師甄選初試數學科答案更正.png (104.71 KB)

2023-4-26 14:36

1.
計算\(sin^2 41^{\circ}+sin^2 19^{\circ}+sin41^{\circ}sin19^{\circ}\)的值為　　　。

4.
有長方形紙板\(ABCD\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{3}\)。若將沿對角線\(\overline{AC}\)摺起，使\(D\)至\(D'\)位置。由\(D'\)作平面\(ABC\)的垂線\(\overline{D'H}\)，其垂足\(H\)恰好在\(\overline{AB}\)邊上，此時平面\(ABC\)與平面\(ACD'\)所夾的銳角為\(\theta\)，試求\(tan\theta=\)　　　。
相關題目，https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)　　　。

\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{ x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(102武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)

第 2 題
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\)，且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列，試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)　　　。
[提示]
BC^2、CA^2、AB^2 成等差

第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為　　　。
[解答]
算兩兩相乘那邊，有使用到  \( z\cdot\overline{z}=|z|^2 \) 的性質。

想問填充8的例子
我只有找出28的例子
感謝

填充8
已知有36位學生參加考試，其平均為60分，標準差為5分，試問至少有多少人的成績會介於\((50,70)\)區間？答：　　　人。
[解答]
該區間為±2σ
由 柴比雪夫(Chebyshev)定理 得:
P( μ-2σ < x < μ+2σ ) ≥ \(1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}\)
\(36 \cdot \frac{3}{4} = 27\)

可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝

第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為　　　。
[另解]
為打字方便，把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示，其共軛複數分別是 p'、q'、r'

p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'

|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p

若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i
|p + 2q + 3r| = |p||1 + 2 ± 3i| = √[(1 + 2)^2 + 3^2] = √18

同理
若 q = r，|p + 2q + 3r| = √[(2 + 3)^2 + 1^2] = √26
若 r = p，|p + 2q + 3r| = √[(3 + 1)^2 + 2^2] = √20

|p + 2q + 3r| 的最大值為 √26

引用:

原帖由 年獸 於 2023-4-25 20:57 發表
可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝

這題的確有你說的問題，題目出的不好，
第一，他問「至少」。答案寫至少1人，2人，邏輯上也沒有錯，反正至少嘛…

第二，不要吹毛求庛的話，假設我們知道這題在問「最少保證n人在介於(50,70)間，有例子存在，且可以說明n-1不滿足」。
用柴比雪夫算完，是大於等於27，若連續的話沒問題，但這是離散型的，所以邊界要check。
下面說明恰27是不可能的：
因為平均是60，假設27個人是60，剩9個人\(x_1,\dots,x_9\)跟60都要差10分以上，所以變異數在計算時就會多了\(10^2\times 9=900\)，
此時標準差恰為\(\sqrt{\frac{900}{36}}=5\)，只要27個人的分數偏離了60，或是這9人分數離60再遠一點，都會導致標準差變大，也就是這是最緊的情況。
也就是這9個人不是50就是70，但他們的平均又要60，9是奇數，所以不可能。
(或嚴僅一點，\(60=\frac{50n+70(9-n)}9\)解得\(n=4.5\)，如果可以4.5人是50分，4.5人是70，那就可以，但人數是整數，所以不可能。)
所以此題答案應該是28，
例子：28個60分，4個人\(60+\frac{15}{\sqrt{2}}\)，4個人\(60-\frac{15}{\sqrt{2}}\)，這樣剛好36人平均60，標準差5。
(註：解\(8(x-60)^2=900\)，得\(x=60\pm\frac{15}{\sqrt{2}}\))。

可以提疑議了…
但不要主張答案28，要主張28以下的數都對，才不會害到寫27的人…

將3組小括弧、2組方括弧、1組角括弧排成一列，各種括弧之間沒有先後使用的規定，但是每一組括弧的左括弧必須排在右括弧的左邊，而且每一組括弧中間如果有其他括弧，則這些括弧必須是完整的一組括弧；舉例來說：(<>)[()[]]()是一種合格的排列法，而<)(>[([])]()與(<)>[([])]()都是不合格的排列法。
請問以上的6組括弧，共有幾種合格的排列法？ 答：　　　種。
[解答]
我們知道括號的問題跟Catalan Number有關，
但此題的括號數跟一般的括號不太一樣，
先所有的都看成小括號，
若
1組：()，1種
2組：()(), (())，2種
3組：()()(), (())(), ()(()), (()()), ((()))，5種
4組：()()()()，(()())(), ()(()()), (((()))), (()()()), ((()())), ((()))(), ()((())), (())(()), (())()(), ()()(()), ()(())(), ((())()), (()(()))，14種

可以視為Dick Path, 左括號就是往上走，右括號就往下走，不能低於水平線…
所以6組括號\(C_6=132\)，再乘\(\frac{6!}{3!2!1!}=60\)，所以是\(132\times60=7920\)。

我一開始列錯了，還以為答案錯了…