如題，竹北很有效率

竹北一如往常的簡單
填充1.
如圖，設\(\Delta ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)為邊向外各作正三角形\(\Delta ABF\)和\(\Delta ACG\)，點\(M\)是\(\overline{BC}\)中點。若\(\overline{MF}=11\)，\(\overline{MG}=7\)，則\(\overline{BC}\)的長度為　　　。
[解答]
由費馬點知\(\overline{BG}=\overline{CF}\)
由中線定理：\(\overline{CG}^2+\overline{BG}^2=2(\overline{MG}^2+\overline{MC}^2)\)，\(\overline{CF}^2+\overline{BF}^2=2(\overline{MF}^2+\overline{MB}^2)\)
兩式相減得\(\overline{BF}^2-\overline{CG}^2=2(\overline{MF}^2-\overline{MG}^2)=\overline{BC}^2=144\)

填充2.
設函數\(f:(0,\infty)\to R\)，滿足\(\displaystyle f\left(1-\frac{1}{1+t}\right)+f\left(\frac{1+t}{t}\right)log(1+t)=f\left(\frac{1+t}{t}\right)logt+2022\)，則\(f(1000)=\)　　　。
[解答]
分別令\(\displaystyle x=\frac{t}{1+t}\)和\(\displaystyle x=\frac{t+1}{t}\)
\(f(x)-f(\frac{1}{x})\log x=2022\)，\(f(\frac{1}{x})+f(x)\log x=2022\)，\(\log xf(\frac{1}{x})+f(x)(\log x)^2=2022\log x\)
\(f(x)(1+(\log x)^2)=2022+2022\log x\)，\(\displaystyle f(x)=\frac{2022+2022\log x}{1+(\log x)^2}\)

填充3.
設\(\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)\)的值為　　　。
[解答]
\(\displaystyle a_0=\cos\frac{\pi}{6}\)，\(\displaystyle a_n=\cos\frac{\frac{\pi}{6}}{2^n}\)，\(\displaystyle 1-a_n=2\sin^2\frac{\frac{\pi}{12}}{2^n}\)
令\(\displaystyle x=\frac{1}{2^n}\)，所求\(\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{\pi}{12}x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\pi^2}{72}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{12}x}{\frac{\pi}{12}x}\right)^2=\frac{\pi^2}{72}\)

填充8.
拋物線\(y^2=4cx(c>0)\)的焦點為\(F\)，準線為\(L\)。\(A\)、\(B\)是拋物線上的兩動點，且滿足\(\displaystyle \angle AFB=\frac{\pi}{3}\)，設線段\(AB\)的中點\(M\)在\(L\)上的投影點為\(N\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}\)的最大值為　　　。
[解答]
令\(\overline{AF}=a,\overline{BF}=b\)，\(\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}=\frac{\displaystyle\frac{d(A,L)+d(B,L)}{2}}{\overline{AB}}=\frac{a+b}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}\)
平方，\(\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{4a^2+4b^2-4ab}=\frac{1}{4}+\frac{3ab}{4a^2+4b^2-4ab}\le\frac{1}{4}+\frac{3ab}{8ab-4ab}=1\)

填充題第一部分
3.
長方形紙片\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AD}=2\sqrt{3}\)，若將此長方形紙片沿\(\overline{AC}\)摺起，使\(\Delta ADC\)與\(\Delta ABC\)所夾的兩面角為\(30^{\circ}\)，此時\(\angle BAD=\theta\)，則\(cos\theta=\)　　　。
類似問題https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
求座標平面上\(|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339\)的區域面積為　　　。

坐標平面上，不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2244&page=3#pid13178)

填充題第二部分
3.
設\(\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}　(n\ge 1)}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)\)的值為　　　。

4.
設直線\(ax+by=c\)的係數可以在0,1,2,3這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則\(a,b,c\)的值共可決定\(n\)條不同的直線，則\(n=\)　　　。

已知直線\(ax+by+c=0\)中的\(a,b,c\)是取自集合\(\{\; -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\;\)中的 3 個不同元素，並且該直線與\(x\)軸正向所夾的有向角為銳角，則這樣的直線有幾條？
(103家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1860&page=3#pid9958)

10.
已知級數\(\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\ldots+\frac{28}{5^{10}}=\frac{p+q\times \frac{1}{5^{10}}}{r}\)，其中\(p,q,r\)皆為整數，且\(p,q,r\)三數兩兩互質，則\(p+q+r=\)　　　。

填五
求座標平面上\(|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339\)的區域面積為　　　。
[解答]
所求與|13x-10y|+|17x+13y|≦339所圍區域面積等價
(僅移動中心點到原點,不會改變圖形結構)
法1: (一般作法)
假設直線L1: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y=339
直線L2: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y= -339
直線M1: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= 339
直線M2: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= -339
所求即為L1,L2,M1,M2所圍區域面積K
假設θ為L1與M1夾角,則|cosθ|=|30*4+3*23|/[(√(30² +3²)*√(4²+23²) ] =189 /[√909*√545]
sinθ=√([1-(cosθ)² ] =678/ /[√909*√545]  [註:這裡會算得很辛苦!!]
則K=(2*339/√909)*(2*339/√545)/sinθ=678

法2: (速算法)
利用座標轉換~假設X=13x-10y ,Y=17x+13y
所求改成求|X|+|Y|≦339的區域面積,假設此面積為K'
令A為以向量(13,-10),向量(17,13)為兩列的二階行列式之絕對值
則A=|13*13+10*17|=339,又K*A=K'
K*339=(1/2)*(2*339)² ,所求K=678

6.
若對所有\(\theta \in R\)，複數\(z=(a+cos\theta)+(2a-sin\theta)i\)的絕對值不超過2，則實數\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
這題小弟認了 場外重算好多次才算出 考場更不可能了

易知 \(\displaystyle 5a^2+2a(cos\theta -2sin \theta)-3\leq0\)

整理可得\(\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a}\)

注意\(\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a}\)嚴格遞減

(1)如果 \(\displaystyle a\geq 0\)的情形，對於\(\displaystyle \theta \in \mathbb{R}\)

\(\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a}\) 恆成立
即\(\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a} \geq \sqrt{5} \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}\)

(2)討論\(a\leq0\)的情形

可得\(\displaystyle a \geq \frac{-1}{\sqrt{5}}\) 或是 \(\displaystyle a\leq \frac{-3}{\sqrt{5}}\)

綜合(1)(2) 得到\(\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}\)

這題用幾何想法比較簡單
想成(a,2a)+(cos(-t)+sin(-t))

有一個圓的圓心在y=2x上且與「圓心在原點，半徑為2的圓」內切
即可解出答案

請教第二部分填充四

第二部分第 4 題
設直線\(ax+by=c\)的係數可以在\(0,1,2,3\)這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則\(a,b,c\)的值共可決定\(n\)條不同的直線，則\(n=\)　　　。
[解答]
(1) a、b、c 中恰有 2 個 0
a = c = 0，1 條
b = c = 0，1 條

(2) a、b、c 中恰有 1 個 0
a = 0，3^2 - 2 = 7 條
b = 0，7 條
c = 0，7 條

(3) a、b、c  均不為 0
3^3 - 2 = 25

加起來

謝謝老師解惑

版上老師好

請問第4題應該要怎麼做會比較快阿?

訂作標後發現硬解方程式感覺在繞遠路