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102全國聯招

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102全國聯招

 

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102全國聯招.pdf (291.16 KB)

2013-5-25 12:21, 下載次數: 4768

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7.
將桌上一長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起,使平面ABC與平面ACD互相垂直,已知\( \overline{AB}=\sqrt{7} \),\( \overline{BC}=\sqrt{2} \),則空間中\( \overline{BD} \)長為
(A)\( \displaystyle \frac{\sqrt{18}}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{28}}{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{\sqrt{53}}{3} \) (D)\( \displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3} \)

將長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起,使平面ABC與平面ACD互相垂直,已知\( \overline{AB}=a \),\( \overline{BC}=b \),則以a,b表示\( \overline{BD} \)之長 =。
(94台中縣高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid1774)


計算4.
設邊長為a的正七邊形的對角線中,最長為x,最短為y,試證:\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} \)。

若有一正k邊形,其頂點依序為A、B、C、D,且滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)。問k為多少?
(1999TRML團體賽)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-25 02:45 PM 編輯 ]

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想先請教單選1.2.8
另外單選6我知道是圓..只是有個疑問.為什麼不能把絕對值直接拿掉加正負?
這樣算出來 Z = i or -i ...就變成兩條線了ㄟ?
感謝指教~

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回復 3# idontnow90 的帖子

複數的絕對值的意義是什麼???

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回復 4# lyingheart 的帖子

一語道破..感謝~

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回復 3# idontnow90 的帖子

第二題
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數;
又 \( 0 < \beta <1 \) , 所以 \( 0 < \beta^{1006} < 1 \)
所求即為 \( \alpha^{1006}+\beta^{1006}-1 \) 的個位數字。

再令 \(\displaystyle a_n=\alpha^n+\beta^n \)
而 \( \alpha,\beta \) 為方程式 \( x^2-10x+1=0 \) 的兩根,
所以數列 \( a_n \) 會滿足 \(\displaystyle a_{n+2}=10a_{n+1}-a_n \)
計算知 \( a_0=2,a_1=10 \)
只看個位數字得到 0,8,0,2 的循環,
所以所求為 \( 8-1=7 \)

PS:第一題為學測題

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-5-25 09:31 PM 編輯 ]

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回復 3# idontnow90 的帖子

第八題
CH是CA轉45度,BE是BD轉45度,
所以CH和BE的夾角等於CA和BD的夾角,也就是CA和AE的夾角,
而角A是銳角,所以這個夾角為 \( 90^o-\angle{A} \)

\(\displaystyle \cos{A}=\frac{25+36-49}{60}=\frac{1}{5} \)

\(\displaystyle \vec{CH} \cdot \vec{BE}=5\sqrt2 \times 6\sqrt2 \times \cos(90^o-A) \)

\(\displaystyle =60 \times \frac{2\sqrt6}{5}=24\sqrt6 \)

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計算第一題

雖然很簡單~ 提供大家非一般用直角三角形的證法

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2013-5-25 23:31

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引用:
原帖由 lyingheart 於 2013-5-25 09:28 PM 發表
第二題
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數;  
PS:此題型可以證明出個位數皆為奇數,
不會算的人至少可以變成二選一
證明:
(\sqrt3+\sqrt2)^2012+(\sqrt3-\sqrt2)^2012=2[C+C+.....+C]
(\sqrt3+\sqrt2)^2012為奇數

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計算第4題

不曉得沒證托勒密定理會不會被扣分

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2013-5-25 23:57

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