以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 46分
58,54,54,50,46,46

40~44分 15人
30~39分 27人
20~29分 38人
10~19分 8人
0~ 9分 4人
缺考　　1人

共計 99 人

請各位網友直接寫題號來討論
101.2.11補充
將題目重新打字，檔案需要LibreOffice才能開啟

1.兩正數a=112+134+156++120032004
b=110032004+110042003+110052002++120041003
則ba=？(請化為最簡分數)
[出處，93高中數學能力競賽　第二區筆試二試題]

a=11−21+31−41++12003−12004
a=11+21++12004−2(21+41++12004)
a=11003+11004++12004
頭尾相加
a=300710032004+300710042003++300715031504
a=3007110032004+110042003++115031504 

b=110032004+110042003++115031504+115041503+115051502++120041003 
b=2110032004+110042003++115031504 

111.4.25補充
已知p=112+134+156++120212022，
q=110122022+110132021+110142020++120221012，試求qp之值=　　　。
(111臺南一中，https://math.pro/db/thread-3635-1-1.html)

5.橢圓21(x−21)2+100(y−100)2=2100在第一、二、三、四象限內的面積依次為R1、R2、R3、R4，則R1−R2+R3−R4=？
[提示]
高中數學101　P238，高中數學101修訂版　P240有這題
中心在(x0y0)，R1−R2+R3−R4=4 x0y0 


7.如下圖，正三角形△ABC，若D,E,F將三邊分成AF:FB=BD:DC=CE:EA=2:(n−2)；
(其中n4)，且AD，BE，CF相交所成的△PQR的面積是△ABC的71，則n值為？

如右圖，△ABC中，D，E，F分別為三邊之三等分點，AD，BE，CF兩兩分別交於P，Q，R，△PQR和△ABC面積比為何？
(97大安高工)
這題答案就是1:7，2: (n-2)=1:2，n=6
假如沒背到這題答案的話，原本的方法是
AF:FB=BD:DC=CE:EA=1:t
△ABQ=1+t1+t+t2△ABD， \displaystyle △ABD=\frac{t}{1+t}△ABC 得 \displaystyle △ABQ=\frac{t}{1+t+t^2}△ABC
最後可得到 \displaystyle △PQR=\frac{1-2t+t^2}{1+t+t^2}△ABC ，得 t=2
以上的解法出自 國際數學奧林匹克大陸隊訓練教材　P136


101.2.11補充資料
已知：如圖6-7，△ABC中P、Q分別為邊 \overline{BC} 、 \overline{CA} 上的點，且 \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=\frac{1}{2} ， \overline{BQ} 與 \overline{AP} 相交於D。試探討圖中
(1)線段與線段之間的關係；
(2)△ABD、△BPD、△AQD和四邊形PCQD各面積之間的關係；
(3)上述諸三角形和四邊形的面積同△ABC的面積之間的關係。

生活中的中學數學P188.gif (138.06 KB)

2012-2-11 15:09

101.12.18
補充另外一種解法
宋釗宜，難解數學破題
面積比.rar (7.83 KB)

面積比.rar (7.83 KB)
下載次數: 25178

2012-12-18 15:00

102.9.20補充
若 \displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{m}{n} 則有
(3) AF:FD: DP=(m^2+mn): (n^2-m^2):m^2
感謝thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&p=9976

102.11.20補充
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid9415


105.5.20補充
任意給定一個三角形ABC，已知P、Q、R分別為\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{CA}三邊上的三點，且\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{BQ}:\overline{QC}=\overline{CR}:\overline{RA}=2:1，若\overline{CP},\overline{AQ},\overline{BR}兩兩交於點A',B',C'。求\Delta A'B'C'與\Delta ABC的面積比。
(建中通訊解題　第92期)

111.1.11補充
在三角形ABC的三邊\overline{BC}、\overline{CA}、\overline{AB}上依次取D、E、F點，且使\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2，令\overline{AD}與\overline{CF}交於P點，\overline{BE}與\overline{AD}交於Q點，\overline{CF}與\overline{BE}交於R點，求\Delta ABC與\Delta PQR的面積比。
(106羅東高中，https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)

在(圖一)中，\displaystyle \overline{TQ}=\frac{1}{2}\overline{ST}，\displaystyle \overline{UR}=\frac{1}{3}\overline{TU}，\displaystyle \overline{SP}=\frac{1}{4}\overline{SU}。已知\Delta STU的面積是1。則\Delta PQR的面積為　　　。
(98嘉義高中，https://math.pro/db/thread-2417-1-1.html)

8.x為實數時，若 \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} 為所有實數，則常數a之範圍為？
(93高中數學能力競賽　雲嘉區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf　連結已失效


9.擲一公正骰子200次，若至少出現100次正面的機率為 \displaystyle a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} ，則數對 (a,k)= ？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41934　連結已失效


17.n是自然數，O為原點，平面π: x+ny+(n+2)z=1 與三坐標軸相交於點 A_n ， B_n ， C_n ，若 V_n 表四面體 O-A_nB_nC_n 的體積，求 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n= ？
[提示]
高中數學101　P186，高中數學101修訂版　P187有這題
\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{n}}+\frac{z}{\frac{1}{n+2}}=1
\displaystyle A_n=(1,0,0) ， \displaystyle B_n=(0,\frac{1}{n},0) ， \displaystyle C_n=(0,0,\frac{1}{n+2})


19. \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx 之值為？
(99中正預校，https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)
解答在http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

想請教一下
關於填充第12題 (第13格)
除了用討論的之外
有沒有比較有系統的作法?
或者是可以轉換成甚麼樣的思考模式來想這題呢??


先謝謝了!

請教一下第6題的解題思維

第 6 題

求兩橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 與 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 所圍區域的公共部份繞 x 軸旋轉一周所得體積為？


解答：

先求 \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right. 在第一象限的交點

（根據對稱的特性，也就是抓其中一個橢圓跟 x=y 直線在第一象限的交點），

解得交點為 \displaystyle\left(\frac{12}{5},\frac{12}{5}\right).

所求體積為 \displaystyle 2\left(\int_{0}^{\frac{12}{5}} \pi\cdot 9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)dx+\int_{\frac{12}{5}}^{3} \pi\cdot 16\left(1-\frac{x^2}{9}\right)dx\right)=\frac{208\pi}{5}.

我已經知道怎麼寫比較有規律了
^^

想請教第8題
x為實數時，若 \displaystyle \frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} 為所有實數，則常數a之範圍為　　　

令y=f(x)...整理出(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?
我算不出-2<a<0.這個答案ㄟ..還請知道的老師們不吝指教..謝謝~

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-6-20 09:52 PM 發表
想請教第8題...令y=f(x)...整理出
(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?我算不出-2

因為y為任意實數,所以f(y)>=0恆成立的條件
就是D<0

想請教第18題，感謝。

引用:

原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題，感謝。

這是四個積分
分子分母各除以n^2....然後各分一個給前後兩個級數
就是積分....