關於第 8 題，先前寫此題也碰到此麻煩，
如 mandy 所說 首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"
而此題搞鬼的地方在於
f(x) 在二次式的解處可能沒有定義。
以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係
原本分子分母都是二次(以下)式，但透過平移
g(x)=f(x)−c 可將分子改成一次以下，但如果分子是常數，就沒有什麼好看的，所以
設
f(x)=
x+
ax2+bx+c
Dy=(by−
)2−4ay(cy−
) , 且
a
=0，則有
(a)
y
f(R)
Dy
0.
證 若
y=0 且
yf(R)，則
(ax2+bx+c)y=x+ 有實數解，因此
Dy0 。
若
y=0,
Dy=200。因此
yf(R)Dy0 。
(b)
y=0Dy
0yf(R)
證 若
Dy0y=0，則
(ax2+bx+c)y=x+ 有兩相異實根。若
ax^{2}+bx+c=0 ，則
\alpha x+\beta=0 。
而
ax^{2}+bx+c=0 和
\alpha x+\beta 至多一共根，
因此當
D_{y}>0 時，必存在
x 使得
(ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta 且
ax^{2}+bx+c\neq0\Rightarrow f(x)=y 。
(c)
\deg\left(\gcd(ax^{2}+bx+c,\alpha x+\beta)\right)=0\Leftrightarrow f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\}
證 由 (1) (2) 知，我們只須檢驗
D_{y}=0 、
y=0 ，在兩集合的差異 (
D_y>0 且
y\neq0 同時屬於兩集合)。
假設左式成立，則
ax^{2}+bx+c=0 和
\alpha x+\beta=0 無共根。
同 (b) 論述可得
y\neq0 且
D_{y}\geq0 則
y\in f(\mathbb{R}) 。
易驗
D_{0}=\alpha^{2}\geq0 且
f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 ，因此
f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} 。
假設左式不成立，則
ax^{2}+bx+c=0 和
\alpha x+\beta=0 有共同根
-\frac{\beta}{\alpha} 。
若
D_{y}=0, 且
f(x)=y ，注意方程式
(ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta 之解必為
x=-\frac{\beta}{\alpha} (重根)，
因此
x=-\frac{\beta}{\alpha} ，但
f 在
x=-\frac{\beta}{\alpha} 無定義，故不存在
x ，使得
f(x)=y ，
同理
y =0 時，亦不存在
x 使得
f(x)=0
因此
f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} 。
---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子，之前有小瑕疵
回到原題，
a=1 顯然不合。而
a \neq 1 ，計算判別式可得
-2 \leq a \leq 0
檢查分子是否與分母互質即
a^2+2a 是否為 0 (因式定理)
故其解為
-2<a<0
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本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 ]
