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題目和答案如附件

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-11 03:32 PM 編輯 ]

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2010-7-11 15:32, 下載次數: 3274

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填充題
1.設四點A-B-C-D且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=2:3:1 \),以\( \overline{BC} \)為直徑作圓,取圓上一點P(但\( P\ne B \),\( P \ne C \)),則\( (tan∠APB)\times (tan∠CPD)= \)?
[速解]
\( \displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \)


A、B、C、D四點依次在直線L上,且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=a:b:c \),以\( \overline{BC} \)為直徑作圓O,P為圓O上異於B、C的一點,令\( ∠APB=\alpha \),\( ∠CPD=\beta \),則\( tan \alpha \cdot tan \beta= \)?
(1)\( \displaystyle \frac{ca}{b^2+(c+a)b+ca} \) (2)\( \displaystyle \frac{ab}{c^2+(a+b)c+ab} \) (3)\( \displaystyle \frac{bc}{a^2+(b+c)a+bc} \)
(4)\( \displaystyle \frac{ca}{a^2+(b+c)a+bc} \) (5)\( \displaystyle \frac{ab}{b^2+(c+a)b+ca} \)
(2008年北區第1次學測模擬考,RA340.swf)
[公式]
\( \displaystyle \frac{a}{a+b} \times \frac{c}{b+c} \)


5.有九個人排隊買電影票,票價每張50元,若這九個人中有五人身上帶有50元硬幣,其餘四人只帶有100元鈔票,今每個人限購一張票,則售票員不備零錢能將票順利售完不發生找錢困難的售票法共有A種,又這九個人排隊的方法共有B種,則序對為(A,B)為?

有十人要看電影,電影票一張50元,十人中有4人手拿100元鈔票,其他6人手拿50 元,今售票員不另外準備零錢找錢,但又可以讓這十位客人都順利買到票的方法數有多少種?
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801

http://forum.nta.org.tw/examservice/search.php
搜尋關鍵字請輸入"Catalan",類似問題請一併準備


6.若\( a^2+b^2=1 \),\( c^2+d^2=1 \),\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \),則\( \left|  \matrix{a & b \cr c & d} \right| \)之值為?
[提示]
兩向量\( (a,b) \),\( (c,d) \),長度為1,夾角\( 60^o \)
行列式是兩向量所形成的三角形面積乘2倍再加正負

102.5.4補充
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \),則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為?
(102北一女中二招,https://math.pro/db/thread-1590-1-1.html)


感謝 八神庵 提醒,這題和99彰化女中相同
7.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為?
(99彰化女中,https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)


三、證明題
2.利用二項式定理與棣美弗定理導出正弦與餘弦函數的四倍角公式。

用\( cos \theta \)來表示\( cos 5\theta \)。
(95士林高商),http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41891

用利美佛定理,表示出\( sin5 \theta= \)?(用\( sin \theta \)表示),\( cos5 \theta= \)?(用\( cos \theta \)表示)
(新竹高中),http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=24937

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對應-王子俠,單墫.gif (104.24 KB)

2010-7-3 20:08

對應-王子俠,單墫.gif

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請問一下計算第二題中,S代公式要如何去化簡\( x_i-X \)

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計算第 2 題的第 1 小題:

樣本標準差 \(\displaystyle S=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2-n\cdot\left(\frac{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)}{n}\right)^2}{n-1}}\)

      \(\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1}{3}\left(4n^3-n\right)-n\cdot n^2}{n-1}}\)

      \(\displaystyle =\sqrt{\frac{n\left(n+1\right)}{3}}\)


※ 小弟是看答案推斷題目應該要求樣本標準差。

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請問  填充題 2

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回復 5# martinofncku 的帖子

填充第 2 題:

\(n^3\equiv n \pmod{66}\)

\(n^3-n\equiv 0 \pmod{66}\)

\((n-1)n(n+1)\equiv0 \pmod{2\cdot3\cdot11}\)

因為 \(n-1, n, n+1\) 為連續的三整數,因此 \((n-1)n(n+1)\) 必為 \(2,3\) 的倍數

\(\Rightarrow n-1, n, n+1\) 有一數為 \(11\) 的倍數

且因為 \(n\) 是 \(n^3\) 「除以 \(66\) 的餘數」,

因此 \(n<66\),

故,\(n\) 可為 \(0+1,  11,  11\pm1,  22, 22\pm1,  \cdots,  55,  55\pm1,  66-1\)

共有 \(17\) 個。

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