填充題
1.設四點A－B－C－D且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=2:3:1 \)，以\( \overline{BC} \)為直徑作圓，取圓上一點P(但\( P\ne B \)，\( P \ne C \))，則\( (tan∠APB)\times (tan∠CPD)= \)？
[速解]
\( \displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \)
A、B、C、D四點依次在直線L上，且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=a:b:c \)，以\( \overline{BC} \)為直徑作圓O，P為圓O上異於B、C的一點，令\( ∠APB=\alpha \)，\( ∠CPD=\beta \)，則\( tan \alpha \cdot tan \beta= \)？
(1)\( \displaystyle \frac{ca}{b^2+(c+a)b+ca} \) (2)\( \displaystyle \frac{ab}{c^2+(a+b)c+ab} \) (3)\( \displaystyle \frac{bc}{a^2+(b+c)a+bc} \)
(4)\( \displaystyle \frac{ca}{a^2+(b+c)a+bc} \) (5)\( \displaystyle \frac{ab}{b^2+(c+a)b+ca} \)
(2008年北區第1次學測模擬考，RA340.swf)
[公式]
\( \displaystyle \frac{a}{a+b} \times \frac{c}{b+c} \)
5.有九個人排隊買電影票，票價每張50元，若這九個人中有五人身上帶有50元硬幣，其餘四人只帶有100元鈔票，今每個人限購一張票，則售票員不備零錢能將票順利售完不發生找錢困難的售票法共有A種，又這九個人排隊的方法共有B種，則序對為(A,B)為？
有十人要看電影,電影票一張50元,十人中有4人手拿100元鈔票,其他6人手拿50 元,今售票員不另外準備零錢找錢,但又可以讓這十位客人都順利買到票的方法數有多少種？
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6.若\( a^2+b^2=1 \)，\( c^2+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \)，則\( \left| \matrix{a & b \cr c & d} \right| \)之值為？
[提示]
兩向量\( (a,b) \)，\( (c,d) \)，長度為1，夾角\( 60^o \)
行列式是兩向量所形成的三角形面積乘2倍再加正負
102.5.4補充
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為？
(102北一女中二招，
https://math.pro/db/thread-1590-1-1.html)
感謝 八神庵 提醒，這題和99彰化女中相同
7.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為？
(99彰化女中，
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)
解答在
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039
三、證明題
2.利用二項式定理與棣美弗定理導出正弦與餘弦函數的四倍角公式。
用\( cos \theta \)來表示\( cos 5\theta \)。
(95士林高商，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41891 連結已失效)
用利美佛定理，表示出\( sin5 \theta= \)？（用\( sin \theta \)表示），\( cos5 \theta= \)？（用\( cos \theta \)表示）
(新竹高中)，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=24937 連結已失效
