如下圖,A、C在以O為圓心,半徑為\( \sqrt{50} \)的圓周上,若\( ∠ABC=90^o \),\( \overline{AB}=6 \),\( \overline{BC}=2 \),則\( \overline{OB}= \)?
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
(1983AIME第4題,
http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)
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求方程式\( x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45} \)所有實根的乘積。
(97高中數學能力競賽台南區筆試二)
(1983AIME第3題,
http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)
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某綜藝節目舉辦抽獎遊戲,遊戲規則是參加者從四個門中選一個,三個是「銘謝惠顧」,一個是「進口轎車」。當選了其中一個門之後,主持人會從沒選的三個門中,隨機把一個未中獎的門打開,參加者可以決定要不要換別的門。如果參加者的策略是不管如何都一定要換,則獲得進口轎車的機率為?
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)
蒙提霍爾問題
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... E%E5%95%8F%E9%A1%8C
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設函數\( y=x+4+\sqrt{5-x^2} \)之極大值為M,極小值為m。則有序數對(M,m)?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二,高中數學競賽教程P183)
2010.7.4補充
函數\( \displaystyle \sqrt{9-x^2}+\frac{4}{3}x+2 \)的最大值為何?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(99臺北縣國中聯招)
設a,b,c為整數且a≠0。若方程式\( ax^2+bx+c=0 \)的根為有理數,試證:a,b,c中至少有一個是偶數。
(97高中數學能力競賽第二區筆試一,高中數學競賽教程P386)
設α,β都是實數,若不論α值為何,方程式\( x^4-2x^2+αx+β^2=0 \)的四個根都是實根,試證:\( \big| β \big| \le 1 \)。
(97高中數學能力競賽台北市口試試題,高中數學競賽教程P386)
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在密碼學中,對於英文,人們將26個字母按順序分別對應整數0到25(例如A對應0,B對應1,C對應2,...,Z對應25)。現有一個密碼單詞是由4個字母構成,記此4個字母由左而右對應的數值分別為\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),\( x_4 \)。已知:整數\( x_1+2x_2 \),\( 3x_2 \),\( x_3+2x_4 \),\( 3x_4 \)除以26的餘數分別為9,16,23,12則密碼的單詞是?
(97高中數學能力競賽第一區筆試二,97師大附中第二次教師甄選試題,HOPE)
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設\( \big| x \big| \)為小於或等於x之最大整數,試解方程式\( x^2-97\big| x \big|+7=0 \)。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
解\( 2x^2-11\big| x \big|+12=0 \)。
( \( \big| x \big| \)為小於等於x的最大整數,例:\( x=3.8 \)→\( \big| x \big|=3 \);\( x=-0.4 \)→\( \big| x \big|=-1 \);\( x=7 \)→\( \big| x \big|=7 \) )
(建中通訊解題第24期)
若是x實數,定義\( \big| x \big| \)表示小於或等於x的最大整數,試求方程式\( 2x^2-5\big| x \big|+1=0 \)的解。
(建中通訊解題第52期)
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使得\( 4^{97}+4^{2008}+4^n \)為完全平方數的最大正整數n為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
求最大自然數n,使得\( 4^{2009}+4^{2008}+4^n \)是完全平方數
(建中通訊解題第68期)
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已知\( x+y+z=0 \)且\( x^2+y^2+z^2=2 \),試求\( x^4+y^4+z^4 \)的值。
(97高中數學能力競賽高屏區筆試二)
提示:使用遞迴式
\( x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}=(x+y+z)(x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2})-(xy+yz+zx)(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})+xyz(x^n+y^n+z^n) \)
3個實數x,y,z,滿足下列三個等式\( \matrix{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \),試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值?
(建中通訊解題第70期)
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設a,b,c都是正實數,若11,21,31是方程式\( \displaystyle a^{\frac{1}{x}} b^{\frac{1}{x+3}} c^{\frac{1}{x+6}}=10 \)的三個根,則\( log(abc)= \)?
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)
提示:可整理出x的一元三次方程式,三根為11,21,31,利用根與係數的關係求三根之和為\( log a+log b+log c-9 \)
若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \),則\( a+b+c \)?
(A)18 (B)24 (C)27 (D)30
(96苗栗縣國中聯招.h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27821 連結已失效)
提示:可整理出x的一元三次方程式,三根為8,9,10,利用根與係數的關係求三根之和求\( a+b+c \)
109.5.31補充
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=2\),則\(a+b+c=\)?
(109高雄市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)
2010.7.4補充
若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{1}+\frac{b}{4}+\frac{c}{7}=\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{c}{8}=\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{c}{9}=1 \),則\( a+b+c \)?
(A)13 (B)15 (C)17 (D)18
(99臺北縣國中聯招)
109.10.10補充
\(\left[\matrix{
2012\times2013&2013\times2014&2014\times2015\cr
2013\times2014&2014\times2015&2015\times2016\cr
2014\times2015&2015\times2016&2016\times2017}\right]
\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{1\cr 4 \cr 9}\right]\),求\(x+y+z\)之值。
(101彰化高中,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=4#pid21863)
若\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{3+log2}+\frac{z}{3+log5}=1\cr
\frac{x}{7}+\frac{y}{7+log2}+\frac{z}{7+log5}=1\cr
\frac{x}{11}+\frac{y}{11+log2}+\frac{z}{11+log5}=1}\),則\(x+y+z\)之值為
。
(107新北市高中聯招,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2971&page=2#pid18674)
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在連續投擲一均勻銅板10次的實驗中,反面未曾連續出現2次或2次以上的機率為。
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
投擲一公正銅板6次,在投擲過程中曾經連續出現兩次正面的機率有多少?
(97高中數學能力競賽嘉義區筆試二)
把一枚硬幣連擲次,在投擲過程中接連出現兩次正面向上的機率等於多少?
(95士林高商,
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21970)
投擲一枚公正硬幣n次,求至少連續出現兩次正面的機率。
(96學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008s/2Q.pdf
https://math.pro/db/thread-491-1-4.html
連續投擲一枚公正的硬幣,直到出現連續兩次正面才停止投擲,並計算投擲的次數,試問:
(1)投擲到第15次才出現連續兩次正面的機率為何?
(2)平均而言為了獲得連續兩次正面的期望值投擲次數為何?
(89高中數學能力競賽高雄市筆試一)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aohsiungCity_01.pdf
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已知有1,\( \displaystyle \frac{1}{2} \),\( \displaystyle \frac{1}{3} \),...,\( \displaystyle \frac{1}{2008} \)共有2008數,規定「運算一次」如下:消去其中二數a,b,再加入另一數\( a+b+ab \),經過2007這樣的運算後只剩一數,試問此數為何?
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題)
已知有1、\( \displaystyle \frac{1}{2} \)、\( \displaystyle \frac{1}{3} \)、\( \displaystyle \frac{1}{4} \)、...、\( \displaystyle \frac{1}{2001} \)共有2001個數,規定“操作”一次如下:拿掉其中任兩數a,b後,其餘不動,再加入一數\( a+b+ab \),經過2000次這樣的操作之後只剩一數,求此數。
(2001TRML個人賽)
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110.5.10補充
在邊長為1的正三角形ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點,使得沿線段DE摺三角形時,頂點A正好落在邊BC上。求符合上述條件時線段AD之長的最小值。
(97高中數學能力競賽第四區筆試一試題)
正三角形ABC的邊長為1,且D、E分別為邊AB、AC上的點。將三角形ADE沿線段DE摺疊時,頂點A恰落在邊BC上,試問在此條件下,線段AD的最小值等於多少?
(110台北市高中聯招,感謝thepiano提供出處
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22920)
在三角形ABC中,5sinA+6cosB=7,6sinB+5cosA=4,則sinC=?
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題)
在三角形ABC中,已知3cosA+5sinB=6,3sinA+5cosB=-1,則sinC=?
(110新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3517-1-1.html)
四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形,頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上,頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上,而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\),而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角,則正方形\(ABCD\)的面積為
。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題)
小萱從半徑為6,圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形,金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\),且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行,若將長方形\(PQRS\)彎曲,使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面,則當圓柱側面的面積最小時,試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)
(110高雄女中,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=2#pid22483)