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標題: 排列的考題，五紅五白五黑排成一列... [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2008-2-14 21:24     標題: 排列的考題，五紅五白五黑排成一列...

引用:
五顆紅球、五顆黑球、五顆白球排成一列，紅球不排前五位，黑球不排中間五位，白球不排後五位，請問排列方法數有幾種？解答就略啦，討論一下就出來了。
　　　　　　　　前五顆共計　　　　　　　中間五顆共計　　　　　　　後五顆共計　　　　　　　排成一直線的方法數　
　　　　　　　（不能有紅球）　　　　　（不能有黑球）　　　　　（不能有白球）　　　　　　　　　　↓↓

第一種情況：　五顆都是黑色　　　　　　　　五顆都是白色　　　　　　五顆都是紅色　　　　　　1^3＝C(5,0)^3

第二種情況：　四顆黑色，一顆白色　　　　四顆白色，一顆紅色　　　四顆紅色，一顆黑色　　　　{ 5! / (4!×1!) }^3＝C(5,1)^3

第三種情況：　三顆黑色，二顆白色　　　　三顆白色，二顆紅色　　　三顆紅色，二顆黑色　　　　{ 5! / (3!×2!) }^3＝C(5,2)^3

第四種情況：　二顆黑色，三顆白色　　　　二顆白色，三顆紅色　　　二顆紅色，三顆黑色　　　　{ 5! / (2!×3!) }^3＝C(5,3)^3

第五種情況：　一顆黑色，四顆白色　　　　一顆白色，四顆紅色　　　一顆紅色，四顆黑色　　　　{ 5!/(1!×4!) }^3＝C(5,4)^3

第六種情況：　五顆都是白色　　　　　　　　五顆都是紅色　　　　　　　五顆都是黑色　　　　 　1^3＝C(5,5)^3

所以共計有  1^3＋{ 5! / (4!×1!) }^3＋{ 5! / (3!×2!) }^3＋{ 5! / (2!×3!) }^3＋{ 5!/(1!×4!) }^3＋1^3 種排法。

（或是寫　C(5,0)^3＋C(5,1)^3＋C(5,2)^3＋C(5,3)^3＋C(5,4)^3＋C(5,5)^3　種也可以‧）

︿︿～
作者: bugmens    時間: 2009-11-13 22:35

How many 15-letter arrangements of 5 A's, 5 B's, and 5 C's have no A's in the first 5 letters, no B's in the next 5 letters, and no C's in the last 5 letters?
(A)\( \displaystyle \sum^{5}_{k=0}[C^5_k]^3 \)　(B)\( 3^5 \cdot 2^5 \)　(C)\( 2^{15} \)　(D)\( \displaystyle \frac{15!}{(5!)^3} \)　(E)\( 3^{15} \)
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?p=1042055?ml=1
(2003AMC12，94屏東女中數學競試)
102玉里高中，https://math.pro/db/thread-1730-1-1.html

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=293

將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少可能的排列？
(99育成高中，https://math.pro/db/thread-1094-1-2.html)

4個A、4個B、4個C排成一列，第1到第4位置稱為Ⅰ區，第5到第8位置稱為Ⅱ區，第9到第12位置稱為Ⅲ區，若A不在Ⅰ區，B不在Ⅱ區，C不在Ⅲ區的排列方法有幾種？
(100中科實中，https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)

101.6.28補充
將6個A，6個B及6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有Ａ，中間6個字母沒有B，最後6個字母沒有C，試問共有多少種排列方式？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)
(101文華高中代理，https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

109.6.1補充
將5個\(A\)、5個\(B\)和5個\(C\)等15 個字母排成一列，使得前5個字母中沒有\(A\)，中間5個字母中沒有\(B\)，在最後5個字母中沒有\(C\)，試求：有　　　種排列方式。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

附件: 2003AMC12.zip (2009-11-13 22:35, 264.62 KB) / 該附件被下載次數 9203
https://math.pro/db/attachment.php?aid=136&k=1ebeb12f655f216f2df2786a498ba001&t=1713446343
作者: 艾瑞卡    時間: 2015-3-25 20:08     標題: 回復 1# weiye 的帖子

請教老師,為什麼這題若用笛摩根定律配合排容原理來做是錯的?!?!錯在哪個觀念呢?!
以下是我的錯誤想法:
設A集合表示5紅排前5位,B集合表示黑求排中5位,C集合表示白球排後5位
則所求為 n(A'∩B'∩C')=n(任意排列)-n(A∪B∪C)
n(任意排列)=15! / (5! * 5! * 5! )
n(A∪B∪C)= n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
=3* [10! / (5! * 5!)] -3* [5!/5!]+1=754
故所求n(任意排列)-n(A∪B∪C)=756756-754=756000
一個好大的數字......
作者: thepiano    時間: 2015-3-25 20:30     標題: 回復 3# 艾瑞卡 的帖子

前 5 個球中，連 1 個紅球都不能出現 ......
作者: 艾瑞卡    時間: 2015-3-30 06:09     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的提點!!



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