以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 52分
1名正式教師，取8名參加複試
68,65,63,53,52,52,52,52

其他，
51分     2人
40~49分 17人
30~39分 39人
20~29分 46人
10~19分 51人
  0~ 9分 26人
缺考     6人

共計 195 人
(准考證號碼從1001030151~1001030180無資料)

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發布單位： 教務處
發布日期： 2011-05-16
公告主旨：重新公告數學科及音樂科初試成績。
公告說明：
一、依據本校100年5月16日受理成績復查結果辦理。
二、數學科：100103029成績複查後初試成績修正為52分。
三、音樂科：選擇題第15題經命題、閱卷委員等研商、考究相關文獻後，議定：選擇答案B或答案C，視為正確答案均給分，並全面啟動重新閱卷後，重新公告初試成績。
四、詳請參閱附加檔案。

4.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6} \times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6} \)
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)

Compute \( \displaystyle \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} \).
(1987AIME)
這裡還有類似的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



6.
若從1,2,...,13中任選出相異三數\( x,y,z \)，且\( x<y<z \)，則\( y-x \ge 3 \)且\( z-y \ge 3 \)成立之機率為
[解答]
\( a=13-z \ge 0 \)
\( b=x-1 \ge 0 \)
\( c=y-x-3 \ge 0 \)
\( d=z-y-3 \ge 0 \)
四式相加得
\( a+b+c+d=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^4 \)種

滿足\( 1 \le a \le b < c \le d \le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組？
(95新竹高商)
\( x_1=a-1 \ge 0 \)
\( x_2=b-a \ge 0 \)
\( x_3=c-b-1 \ge 0 \)
\( x_4=d-c \ge 0 \)
\( x_5=8-d \ge 0 \)
五式相加得
\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^5 \)種



9.
\( \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of {2}-1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c \)，其中\( a,b,c \in Q \)。求\( a+b+c= \)？
(92高中數學能力競賽，高中數學101　P25)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



12.
\( sin \alpha+cos \beta=a \)，\( cos \alpha+sin \beta=b \)，求\( sin(\alpha-\beta) \)？(以\( a,b \)表示)

If \( sin x+cos y=a \) and \( cos x+sin y=b \). Find the value of \( \displaystyle tan (\; \frac{x-y}{2} )\; \) in terms of a and b.
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=150&t=356363

已知\( \displaystyle sin \alpha+cos \beta=\frac{3}{5} \)，\( cos \alpha+sin \beta=\frac{4}{5} \)。求\( cos \alpha sin \beta \)的值？
(96家齊女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)
(99屏東女中，https://math.pro/db/thread-976-1-1.html)




13.
4個A、4個B、4個C排成一列，第1到第4位置稱為Ⅰ區，第5到第8位置稱為Ⅱ區，第9到第12位置稱為Ⅲ區，若A不在Ⅰ區，B不在Ⅱ區，C不在Ⅲ區的排列方法有幾種？
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

第六題
若從\(1,2,\ldots,13\)中任選出相異三數\(x\)、\(y\)、\(z\)，且\(x<y<z\)，則\(y-x\ge 3\)且\(z-y\ge 3\)成立之機率為　　　。
[解答]
意思是x,y至少差2；y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數，還剩下13-3-4=6個數，可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是\(\displaystyle H_6^4 \)

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人，其他什麼單位??

第二題，我指導的學生，可是他這篇是物理的!!!!
我們學校，唉，好資值的學生都被先被其他科搶走，感嘆!!!!!!!!

計算證明一
設\(f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)\)，試證：\(f(x)\)不是週期函數。
[解答]
\(\displaystyle \cos{x} \)的週期是\(\displaystyle 2\pi \)
\(\displaystyle \sin{\sqrt{3}x} \)的週期是\(\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
假設f(x)是週期函數，其週期為p
那麼存在正整數m,n，使得
\(\displaystyle p=m \times 2\pi , p=n \times \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
兩式相除得到\(\displaystyle \sqrt3=\frac{n}{m} \)
那麼\(\displaystyle \sqrt3 \)為有理數，與已知矛盾，
故f(x)不是週期函數

113.5.11補充
定理1.
設\(f(t)=A_1 cos(\omega_1 t)+B_1 sin(\omega_1 t)+\ldots+A_n cos(\omega_n t)+B_n sin(\omega_n t)\),
其中\(A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n\)是實數，滿足\(A_1^2+B_1^2\ne 0,\ldots,A_n^2+B_n^2\ne 0,\)而\(\omega_1,\ldots,\omega_n\)為互異的正數。則
(i)\(f(t)\)是週期函數當且僅當對任意的\(i\ne j\)有\(\displaystyle \frac{\omega_j}{\omega_i}\)是有理數。
(ii)當\(f(t)\)為週期函數時，\(f(t)\)的最小正週期是\(\displaystyle T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}(i=1,\ldots,n)\)的最小公倍數。
數學傳播第48卷第1期
(三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響，https://www.math.sinica.edu.tw/2 ... 5-a465-25ca264467a0)

計算證明二
對任意正整數\(n\)，設\(a_n\)是方程\(\displaystyle x^3+\frac{x}{n}=1\)的正實數根，求證：(1)\(a_{n+1}>a_n\)　(2)\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2a_i}<1\)。
[解答]
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0 \)
後項為正，故
\(\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0 \)

(2)
實在找不到如何用第一小題來證，還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分，但是找不到，只好硬作。

先證明
\(\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1} \)
就以\( x=\frac{k}{k+1} \)代入 \( x^3+\frac{x}{k}-1 \)
\(\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1 \)
只算分子部分
\(\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0 \)
故成立

接著就有
\(\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1} \)
所求就為
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1 \)

引用:

原帖由 老王 於 2011-5-15 11:25 PM 發表
計算證明二
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減...

(1)我會用圖解來證

考慮
\(y=x^3-1\)與\(\displaystyle y=-\frac{x}{n}\)的交點的\(x\)坐標\(a_n\)
由圖知只有唯一一個交點, 且\(0<a_n<1\)
當\(n\)增加, 直線斜率\(\displaystyle -\frac{1}{n}\)遞增, 與\(y=x^3-1\)的交點\(x\)坐標\(a_n\)就遞增

請問一下填充第5題跟第10題

填充第 10 題
一矩\(ABCD\)的周長為8，\(E\)為\(\overline{CD}\)的中點，一圓\(C\)過\(A\)、\(B\)兩點與\(\overline{CD}\)相切於\(E\)(如下圖)，求圓\(C\)半徑的最小值為　　　。
[解答]

設圓半徑為 \(r\)　，令如圖中的角度為 \(\theta,\)



則 \(\overline{AD}=r+r\sin\theta, \overline{CD}=2r\cos\theta\)

已知 \(r+r\sin\theta+2r\cos\theta=4\)

\(\Rightarrow r\sin\theta+2r\cos\theta=4-r\)

所以 \(\left|4-r\right|\leq \sqrt{r^2+\left(2r\right)^2}\)

解得 \(r\geq-1+\sqrt{5}\) 或 \(r\leq-1-\sqrt{5}\)

且因為 \(r\) 為半徑，所以 \(r>0.\)

故，\(r\geq-1+\sqrt{5}.\)

亦即 \(r\) 的最小值為 \(-1+\sqrt{5}.\)

填充題第 5 題
空間中有三點\(A(-1,1,3)\)、\(B(3,1,5)\)、\(P(4,-1,-4)\)，若球面\(S\)過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\)：\(5x-2y+5z-14=0\)上，則滿足此條件的球面\(S\)有無限多個，其中半徑最小的球面方程式為　　　。
[解答]

球心必過 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面，

先寫出 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(2\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+1\cdot(z-4)=0\)

　　　　　　　　　　　　\(\Rightarrow 2x+z-6=0\)

且依題意，球心亦在平面 \(E\) 上，

所以，可以先解出兩者的相交直線方程式的參數式，即為球心所在直線的的參數式

解兩面交線的參數式後，可設球心為 \(\displaystyle O(t,8-\frac{5}{2}t,6-2t)\)

則 \(\displaystyle \overline{OB}^2 = \left(t-3\right)^2+\left(8-\frac{5t}{2}-1\right)^2+\left(6-2t-5\right)^2 = \frac{45}{4}\left(t-2\right)^2+14\)

所以當 \(t=2\) 時，半徑最小為 \(\sqrt{14}\)，

且此時球心坐標為 \((2,3,2)\)

故，所求球面方程式為 \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=14.\)

113.4.24補充
空間中有\(A(-1,3,2)\)，\(B(3,3,4)\)兩點，過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\)：\(5x-2y+5z-5=0\)上之球面有無限多個，則其中半徑最小之球面\(S\)的方程式為　　　。
(113大直高中，https://math.pro/db/thread-3846-1-1.html)

可否請問一下各位老師們第7  14  15

感謝；)