99育成高中.gif (201.77 KB)

2011-4-23 11:01

99育成高中教甄的考題
供各位老師參考
但是我沒有解答
真是抱歉

1.將5個A、5個B及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少種可能的排列情形。
(2003AMC12，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454　)


4.設\( x,y \in R \)，且\( |x|<1 \)，\( \displaystyle |\; \frac{x-y}{1-xy} |\; <1 \)，試求y之範圍？
(75日大自然組，高中數學101　P26，高中數學101修訂版　P26)


9.如圖所示，△ABE中，\( ∠BAE=90^o \)，C、D為邊\( \overline{BE} \)上的三等分點，令\( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=a \)，\( \overline{AC}=7 \)，\( \overline{AD}=9 \)，求a？
(高中數學101　P129，高中數學101修訂版　P130)

類題
三角形ABC中，\( ∠C=90^o \)，D、E為\( \overline{AB} \)之三等分點，且\( \overline{CD}=sinX \)，\( \overline{CE}=cosX \)，\( 0^o<X<90^o \)，\( \overline{AB}= \)？
(97全國高中聯招，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958)


10.
如下圖，四邊形ABCD中，\( \overline{AB}// \overline{CD} \)且\( \overline{BC}=\overline{AD} \)，又\( \overline{AC} \)及\( \overline{BD} \)的交點為P，設\( \overline{BP} \),\( \overline{CP} \),\( \overline{AD} \)的中點依次為X,Y,Z，且△APB為正三角形，試證△XYZ為正三角形。
(91北一女數學競賽)
http://www.fg.tp.edu.tw/~math/exam/group2/pdf2/921-1a.pdf


我將題目重新打字，方便網友列印
OpenOffice或LibreOffice才能開啟

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-31 06:30 AM 編輯 ]

7.設有一球心為原點O，半徑為1的球面S，一光源於\( P(2,0,1) \)照射球面S，投射在平面E：\( x+2=0 \)上所成的區域為A，若點\( Q(-2,u,v) \)落在區域A內，試求\( u \)和\( v \)的關係式？
我看錯題目了，將\( x+2=0 \)看成\( z+2=0 \)，這個作品大概花了我1個月的時間，實在沒力氣再重做一次。抱歉

動畫一：為什麼是拋物線
(1)\( \overline{PD},\overline{PF} \)都是圓的切線，得到\( \overline{PD}=\overline{PF} \)
(2)\( \overline{PD} \)是圓錐上母線的其中一段，移動到上方
(3)\( \overline{PD} \)平移到\( \overline{PE} \)，得到\( \overline{PD}=\overline{PE} \)
\( \overline{PF}=\overline{PE} \)
區域為拋物線，F為焦點，V為頂點，L為準線

動畫二：求拋物線方程式
(1)計算直線方程式
(2)將球面放大和\( z+2=0 \)相切
(3)計算拋物線頂點V
(4)重新計算大球面的球心坐標
(5)得到拋物線焦點F，焦距c
(6)求出拋物線方程式

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-2 11:44 PM 編輯 ]

我想問一下填充第七題
要如何證明軌跡是一個橢圓
因為平面E沒有跟球相切
還是可以用圓錐截痕的方法證明嗎?
謝謝~

光打在球上，影子區域會是直圓錐的一部份，

題中平面與(影子)直圓錐所截的區域為橢圓。



證明請見圖解： http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

　　　　　　　http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

　　　　　　　http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

所以可以想成把題目中的小球往外擴大到跟平面相切嗎?
謝謝

確是如此。

一些關於此題的數據 請教一下是否正確，我計算的答案，a=8/3，b=4根號3/3，c=4/3。

寸絲老師的筆記有提供答案
http://tsusy.files.wordpress.com ... -18-20-by-tsusy.pdf
在 P8 最上面，文件上的頁碼是 155

但看起來，我的 \( b^2 \) 寫錯寫成倒數了，mathelimit 的 \( a,b,c \) 是正確的

順帶來個另解. 先考慮平面 \( E':  x+1=0 \) 上的投影橢圓 \( \Gamma \)(平面與球面 S 相切)。

\( \Gamma \) 的長軸在在 xz 平面上，計算 \( P(2,0,1) \) 對圓 \( \begin{cases} x^2+z^2=1 \\ y=0 \end{cases} \) 之切線

可得 \( \Gamma \) 之長軸長 \( 2a' = 4 \)，兩端點為 \( (-1,0,1), (-1,0,-3) \)

又 \( E' \) 與 球面 \( S \) 相切於 \( \Gamma \) 之一焦點 \( (-1,0,0) \)，故 \( a'-c' =1 \Rightarrow c' =1 \)。故 \( a'=2, b' = \sqrt{3}, c' = 1 \)。

以 \( P \) 為中心，將 \( \Gamma \) 伸縮 \( \frac43 \) 倍即為所求，故所求橢圓之  \( \displaystyle a = \frac83, b= \frac43\sqrt{3}, c = \frac43\)，中心點 \( (-2,0,1-\frac83) \)，\( u,v \) 滿足 \( \displaystyle \frac{u^{2}}{\displaystyle \frac{16}{3}}+\frac{(v+\frac{5}{3})^{2}}{\displaystyle \frac{64}{9}}\leq1 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-2 09:42 AM 編輯 ]