99育成高中.gif (201.77 KB)

2011-4-23 11:01

99育成高中教甄的考題
供各位老師參考
但是我沒有解答
真是抱歉

1.將5個A、5個B及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少種可能的排列情形。
(2003AMC12，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454　)


4.設xyR，且x1，x−y1−xy1，試求y之範圍？
(75日大自然組，高中數學101　P26，高中數學101修訂版　P26)


9.如圖所示，△ABE中，∠BAE=90o，C、D為邊BE上的三等分點，令BC=CD=DE=a，AC=7，AD=9，求a？
(高中數學101　P129，高中數學101修訂版　P130)

類題
三角形ABC中，∠C=90o，D、E為AB之三等分點，且CD=sinX，CE=cosX，0oX90o，AB=？
(97全國高中聯招，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958)


10.
如下圖，四邊形ABCD中，ABCD且BC=AD，又AC及BD的交點為P，設BP,CP,AD的中點依次為X,Y,Z，且△APB為正三角形，試證△XYZ為正三角形。
(91北一女數學競賽)
http://www.fg.tp.edu.tw/~math/exam/group2/pdf2/921-1a.pdf


我將題目重新打字，方便網友列印
OpenOffice或LibreOffice才能開啟

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-31 06:30 AM 編輯 ]

7.設有一球心為原點O，半徑為1的球面S，一光源於P(201)照射球面S，投射在平面E：x+2=0上所成的區域為A，若點Q(−2uv)落在區域A內，試求u和v的關係式？
我看錯題目了，將x+2=0 看成z+2=0 ，這個作品大概花了我1個月的時間，實在沒力氣再重做一次。抱歉

動畫一：為什麼是拋物線
(1)PDPF都是圓的切線，得到PD=PF
(2)PD是圓錐上母線的其中一段，移動到上方
(3)PD平移到PE，得到PD=PE
PF=PE
區域為拋物線，F為焦點，V為頂點，L為準線

動畫二：求拋物線方程式
(1)計算直線方程式
(2)將球面放大和z+2=0相切
(3)計算拋物線頂點V
(4)重新計算大球面的球心坐標
(5)得到拋物線焦點F，焦距c
(6)求出拋物線方程式

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-2 11:44 PM 編輯 ]

我想問一下填充第七題
要如何證明軌跡是一個橢圓
因為平面E沒有跟球相切
還是可以用圓錐截痕的方法證明嗎?
謝謝~

光打在球上，影子區域會是直圓錐的一部份，

題中平面與(影子)直圓錐所截的區域為橢圓。



證明請見圖解： http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

　　　　　　　http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

　　　　　　　http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

所以可以想成把題目中的小球往外擴大到跟平面相切嗎?
謝謝

確是如此。

一些關於此題的數據 請教一下是否正確，我計算的答案，a=8/3，b=4根號3/3，c=4/3。

寸絲老師的筆記有提供答案
http://tsusy.files.wordpress.com ... -18-20-by-tsusy.pdf
在 P8 最上面，文件上的頁碼是 155

但看起來，我的 b2 寫錯寫成倒數了，mathelimit 的 abc 是正確的

順帶來個另解. 先考慮平面 E:  x+1=0 上的投影橢圓 (平面與球面 S 相切)。

的長軸在在 xz 平面上，計算 P(201) 對圓 x2+z2=1y=0  之切線

可得 之長軸長 2a=4，兩端點為 (−101)(−10−3)

又 E 與 球面 S 相切於 之一焦點 (−100)，故 a−c=1c=1。故 a=2b=3c=1 。

以 P 為中心，將 伸縮 34 倍即為所求，故所求橢圓之  a=38b=343c=34 ，中心點 (−201−38)，uv 滿足 u2316+964(v+35)21

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-2 09:42 AM 編輯 ]