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99育成高中教甄

99育成高中教甄


99育成高中教甄的考題
供各位老師參考
但是我沒有解答
真是抱歉

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1.將5個A、5個B及5個C等15個字母排成一列,使得前5個字母沒有A,中間5個字母沒有B,且最後5個字母沒有C,試問共有多少種可能的排列情形。
(2003AMC12,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454 )


4.設xyR,且x1xy1xy1,試求y之範圍?
(75日大自然組,高中數學101 P26,高中數學101修訂版 P26)


9.如圖所示,△ABE中,BAE=90o,C、D為邊BE上的三等分點,令BC=CD=DE=aAC=7AD=9,求a?
(高中數學101 P129,高中數學101修訂版 P130)

類題
三角形ABC中,C=90o,D、E為AB之三等分點,且CD=sinXCE=cosX0oX90oAB=
(97全國高中聯招,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958)


10.
如下圖,四邊形ABCD中,ABCDBC=AD,又ACBD的交點為P,設BP,CP,AD的中點依次為X,Y,Z,且△APB為正三角形,試證△XYZ為正三角形。
(91北一女數學競賽)
http://www.fg.tp.edu.tw/~math/exam/group2/pdf2/921-1a.pdf


我將題目重新打字,方便網友列印
OpenOffice或LibreOffice才能開啟

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-31 06:30 AM 編輯 ]

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2011-4-24 20:54, 下載次數: 12089

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7.設有一球心為原點O,半徑為1的球面S,一光源於P(201)照射球面S,投射在平面E:x+2=0上所成的區域為A,若點Q(2uv)落在區域A內,試求uv的關係式?
我看錯題目了,將x+2=0 看成z+2=0 ,這個作品大概花了我1個月的時間,實在沒力氣再重做一次。抱歉

動畫一:為什麼是拋物線
(1)PDPF都是圓的切線,得到PD=PF
(2)PD是圓錐上母線的其中一段,移動到上方
(3)PD平移到 \overline{PE} ,得到 \overline{PD}=\overline{PE}
\overline{PF}=\overline{PE}
區域為拋物線,F為焦點,V為頂點,L為準線

動畫二:求拋物線方程式
(1)計算直線方程式
(2)將球面放大和 z+2=0 相切
(3)計算拋物線頂點V
(4)重新計算大球面的球心坐標
(5)得到拋物線焦點F,焦距c
(6)求出拋物線方程式

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-2 11:44 PM 編輯 ]

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2011-6-2 23:41

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2011-6-2 23:41, 下載次數: 13350

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我想問一下填充第七題
要如何證明軌跡是一個橢圓
因為平面E沒有跟球相切
還是可以用圓錐截痕的方法證明嗎?
謝謝~

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回復 4# johncai 的帖子

光打在球上,影子區域會是直圓錐的一部份,

題中平面與(影子)直圓錐所截的區域為橢圓。



證明請見圖解: http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

       http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

       http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

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Dandelin1.png (148.43 KB)

2013-11-25 16:36

Dandelin1.png

多喝水。

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回復 5# weiye 的帖子

所以可以想成把題目中的小球往外擴大到跟平面相切嗎?
謝謝

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回復 6# johncai 的帖子

確是如此。

多喝水。

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回復 7# weiye 的帖子

一些關於此題的數據 請教一下是否正確,我計算的答案,a=8/3,b=4根號3/3,c=4/3。

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回復 8# mathelimit 的帖子

寸絲老師的筆記有提供答案
http://tsusy.files.wordpress.com ... -18-20-by-tsusy.pdf
在 P8 最上面,文件上的頁碼是 155

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回復 9# thepiano 的帖子

但看起來,我的 b^2 寫錯寫成倒數了,mathelimit 的 a,b,c 是正確的

順帶來個另解. 先考慮平面 E':  x+1=0 上的投影橢圓 \Gamma (平面與球面 S 相切)。

\Gamma 的長軸在在 xz 平面上,計算 P(2,0,1) 對圓 \begin{cases} x^2+z^2=1 \\ y=0 \end{cases} 之切線

可得 \Gamma 之長軸長 2a' = 4 ,兩端點為 (-1,0,1), (-1,0,-3)

E' 與 球面 S 相切於 \Gamma 之一焦點 (-1,0,0) ,故 a'-c' =1 \Rightarrow c' =1 。故 a'=2, b' = \sqrt{3}, c' = 1

P 為中心,將 \Gamma 伸縮 \frac43 倍即為所求,故所求橢圓之   \displaystyle a = \frac83, b= \frac43\sqrt{3}, c = \frac43,中心點 (-2,0,1-\frac83) u,v 滿足 \displaystyle \frac{u^{2}}{\displaystyle \frac{16}{3}}+\frac{(v+\frac{5}{3})^{2}}{\displaystyle \frac{64}{9}}\leq1

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-2 09:42 AM 編輯 ]
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