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標題: 2021TRML [打印本頁]

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作者: satsuki931000 時間: 2021-8-22 22:04

團體賽參考答案如有算錯還請不吝指教
1. 941
2.(-2,-4,4)
3.\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)
4.\(\displaystyle13+4\sqrt{3}\)
5.8
6.333
7.\(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{3}\)
8.1024
9.275
10.7500

作者: satsuki931000 時間: 2021-8-22 23:15

個人賽除了第6之外的參考答案如下

1.2022
2.\(\displaystyle 4\sqrt{3}\)
3.\(\displaystyle \sqrt{65}\)
4.\(\displaystyle \sqrt{2+2\sqrt{5}}\)
5.884 (感謝ho9o9o9指正勘誤)
6.8(感謝thepiano老師指教)
7.\(a=64 , b=\frac{1}{8}\)
8.\(\displaystyle \frac{95}{257}\)
9.\(\displaystyle \frac{39}{2}\)(解答更正)
10.\(\displaystyle 2\sqrt{2}\)
11.3x+2y+3z+6=0(解答更正)
12.\(\displaystyle 4\)

作者: thepiano 時間: 2021-8-23 10:53 標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

個人賽第 6 題
銳角\(\Delta ABC\)的外接圓\(\Gamma\)的半徑為\(\displaystyle \frac{16}{\sqrt{15}}\)、\(\overline{AB}=6\)、\(\overline{BC}=7\)，若\(\angle BAC\)的角平分線交圓\(\Gamma\)於點\(P\)，則\(\overline{AP}=\)　　　。
[解答]
利用正弦定理和和角公式可算出 AC = 8 和 cos∠BAC = 17/32
利用 BP = CP 和餘弦定理可求出 BP = CP = 4
再利用餘弦定理可求出 AP = 8

作者: satsuki931000 時間: 2021-8-23 11:58 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師
我計算錯誤搞得AC數字超醜XD
AC=8就簡單了

我的算法是BE*CE=AE*EP
可得12=6*EP，EP=2
所以AP=6+2=8

2021.08.24補充
個人賽12
圓\(O\)的半徑為\(4\sqrt{2}\)，弦\(\overline{AB}=8\)。若點\(C\)在劣弧\(AB\)上，且\(\overline{CD}⊥\overline{AB}\)於點\(D\)，則\(\Delta ACD\)的面積最大值為　　　。
[解答]
設\(\displaystyle \angle{A}=x\)
\(\displaystyle \triangle{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{CD}=\frac{1}{2}\overline{AC}^2sinxcosx\)
餘弦定理可得\(\displaystyle \overline{AC}^2=64-64sin2x\)
所以面積為\(\displaystyle16sin2x(1-sin2x)\leq4\)

作者: ho9o9o9 時間: 2021-8-23 13:54 標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

個人賽第五題
設有一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(\displaystyle \frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\ldots+\frac{a_n}{n}=n^2+3n+4(n=1,2,3,\ldots,10)\)，求\(a_1+a_2+\ldots+a_{10}=\)　　　。
[解答]
a1要直接代入算a1=8,an=2n^2+2n(n>1),算出來和是884

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-24 13:11

官方答案已公告
https://www.99cef.org.tw/news_02.php?id=821
想請教團體賽第二題

作者: satsuki931000 時間: 2021-8-24 15:32 標題: 回復 7# enlighten0626 的帖子

團體第二題
如圖為一正八面體，若\(\vec{AB}\times \vec{AC}=(6,12,-12)\)，則\(\vec{EF}=\)　　　。
[解答]
易知正八面體的邊長為\(\displaystyle 3\sqrt{2}\)
推出\(\displaystyle \overline{EF}=6\)
恰為題目給的外積的長度的1/3
注意到方向所以所求為（-2，-4，4）

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-24 15:39 標題: 回復 8# satsuki931000 的帖子

了解，謝謝解惑

作者: chihming 時間: 2021-8-24 19:52 標題: 2021TRML

第三題，可以用高等微積分的全微分的矩陣型式下去求嗎 ?

                     不過全微分的矩陣  ，不太會寫

                              然後又怎麼求  極值呢 ??

                           是微分等於0 嗎 ??

作者: Ellipse 時間: 2021-8-24 20:19

引用:

原帖由 chihming 於 2021-8-24 19:52 發表
第三題，可以用高等微積分的全微分的矩陣型式下去求嗎 ?

                     不過全微分的矩陣  ，不太會寫

                              然後又怎麼求  極值呢 ??

                        ...

3.
已知三正數\(x,y,z\)不同時為0，請問\(\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}\)的最大值為　　　。
[解答]
是團體賽?還是個人賽?
若是團體賽3:
假設0≦a≦1,則
x²+ay²≧ 2√a xy------(1)
(1-a)y²+z²≧ 2√(1-a) yz------(2)
(1)+(2)得x²+y²+z²≧ 2√a xy+2√(1-a) yz
所以(xy+2yz)/ (x²+y² +z²)≦(xy+2yz)/ [ 2√a xy +2√(1-a) yz]
claim:2√a:2√(1-a)=1:2 ,得a=1/5
因此(xy+2yz)/ (x²+y² +z²)≦ √5 /2

作者: AsiaMikasha 時間: 2021-8-25 10:19 標題: 請教各位

想請教團體第五題我有把三項的(x-1)提出來然後就不太知道要怎麼寫了

作者: thepiano 時間: 2021-8-25 10:35 標題: 回復 12# AsiaMikasha 的帖子

團體賽第 5 題
設\(f(x)\)為實係數四次多項式函數，滿足\((x^2-1)f(x)\)除以\(x^4-x^3+2x-2\)的餘式為\(x^2+x-2\)。若\(f(0)=f(1)=6\)，則\(f(2)=\)　　　。
[解答]
(x - 1)(x + 1)f(x) = (x - 1)(x^3 + 2)(ax^2 + bx + c) + (x - 1)(x + 2)
(x + 1)f(x) = (x^3 + 2)(ax^2 + bx + c) + (x + 2)
x 分別代 0，1，-1

作者: AsiaMikasha 時間: 2021-8-28 22:34 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

懂了謝謝鋼琴老師

作者: satsuki931000 時間: 2021-8-28 23:10

團體賽第一題
不知道能不能直接用C表示，還是要爆開
1.N(3,k)，k=1,2,3,4,5 分別為2 4 8 4 2
2.N(4,k)，k=1,2...,7 分別為2 6 18 18 18 6 2
3.N(5,2)=8 N(5,3)=32
4.N(10,5)=2592 N(10,6)=6048

5.\(\displaystyle 2C^{n-1}_{\frac{k}{2}}\times C^{n-1}_{\frac{k}{2}-1}\)

6.\(\displaystyle 2[C^{n-1}_{\frac{k-1}{2}}]^2\)

作者: jeanvictor 時間: 2021-10-13 07:19 標題: 請問個人賽第九題

想請問個人賽第九題怎麼算，謝謝~

作者: thepiano 時間: 2021-10-13 07:42 標題: 回復 16# jeanvictor 的帖子

個人賽第 9 題
有六個相異的正整數，最小兩數的平均值為5，最大兩數的平均值為22。當這六個數的
平均值最大時，它們的中位數為　　　。
[解答]
最大的兩數之和 = 44
要讓六個數的平均值最大，那中間的兩數也要盡量大
所以最大的數取小一點的 23，這樣第二大的數會比較大，是 21
中間的兩數就取 19 和 20

作者: jeanvictor 時間: 2021-10-13 23:39 標題: 回復 17# thepiano 的帖子

謝謝老師~ 懂了^^

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