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標題: 2016TRML [打印本頁]

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作者: kingfish 時間: 2016-10-7 11:06

今年TRML題目還沒有人發問

我想請教團體賽的幾個題目
團體賽第6,8,9題
謝謝

另外第2題除了微分，有其他高一高二會的做法嗎？
ps:第10題是不是跟去年一模一樣阿

作者: thepiano 時間: 2016-10-7 11:53 標題: 回復 2# kingfish 的帖子

團體賽第 8 題
從區間\( [0,1] \)中任取兩數\(a\)、\(b\)，並令\(c=a+b\)。若\(A\)、\(B\)、\(C\)分別表示最接近\(a\)、\(b\)、\(c\)的整數，則\(A+B=C\)的機率為　　。(若\( \displaystyle a=\frac{1}{2} \)，則取\(A=1\)。同理\(b,c\)與\(a\)同)
[解答]
(1) 0 ≦ a ＜ 0.5，0 ≦ b ＜ 0.5
A = 0，B = 0，C = 0
0 ≦ c = a + b ＜ 0.5

(2) 0 ≦ a ＜ 0.5，0.5 ≦ b ≦ 1
A = 0，B = 1，C = 1
0.5 ≦ c = a + b ＜ 1.5

(3) 0.5 ≦ a ≦ 1，0 ≦ b ＜ 0.5
A = 1，B = 0，C = 1
0.5 ≦ c = a + b ＜ 1.5

(4) 0.5 ≦ a ≦ 1，0.5 ≦ b ≦ 1
A = 1，B = 1，C = 2
1.5 ≦ c = a + b ≦ 2

把上面的不等式畫在坐標平面上，轉成幾何機率即可

作者: thepiano 時間: 2016-10-7 17:14 標題: 回復 2# kingfish 的帖子

團體賽第6題
已知\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=5 \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{CA}=7 \)。設\(E\)、\(F\)分別為\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)邊上的點，\(\overline{AE}=\overline{AF}=2\)。若\(\Delta AEF\)的外接圓與\(\Delta ABC\)的中線\( \overline{AM} \)交於點\(K\)，則\(\overline{AK}=\)　　。
[解答]
\(\overline{AM}=2\sqrt{7}\)

取\(\overline{BP}=\overline{CQ}=1\)
\(\displaystyle \overline{AG}=\frac{1}{3}\overline{AM}=\frac{2}{3}\sqrt{7}\)

在\(\Delta BMP\)和\(\Delta CMQ\)中
用餘弦定理可求出\( \displaystyle \overline{MP}=\sqrt{\frac{56}{5}},\overline{MQ}=\sqrt{\frac{40}{7}}\)
\(\begin{align}
& \overline{EG}=\frac{1}{3}\overline{MP}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{56}{5}} \\
& \overline{FG}=\frac{1}{3}\overline{MQ}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{40}{7}} \\
\end{align}\)

最後用圓冪定理可求出\(\overline{AK}=\frac{6}{7}\sqrt{7}\)

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作者: thepiano 時間: 2016-10-8 07:16 標題: 回復 2# kingfish 的帖子

團體賽第2題
若\(x>0\)，則\( \displaystyle x^2+2x+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^2} \)的最小值為　　。
[解答]
拆成\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{5}{x}+\frac{5}{x} \right)+\left( x+x+\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)\)

作者: 王重鈞 時間: 2016-10-8 21:22 標題: 第六題

第六題也可以用特殊平行四邊形托勒密推廣原理直接處理

作者: thepiano 時間: 2016-10-9 10:03 標題: 回復 2# kingfish 的帖子

團體賽第 9 題
已知等腰三角形\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，圓\(O\)為\( \Delta ABC \)的內切圓，\( \overline{AD} \)為邊\( \overline{BC} \)上的高，點\(E\)為\(\overline{AD}\)與圓\(O\)在\( \Delta ABC \)內部的交點。延長\( \overline{CE} \)交邊\(\overline{AB}\)於點\(F\)。若\(\overline{CF}\)與\(\overline{AB}\)垂直，且圓\(O\)的半徑為\(r\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{r}=\)　　　。
[解答]
三位高手的妙解
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作者: 俞克斌 時間: 2017-7-23 17:12 標題: 2016TRML團體賽詳解（全）

謝謝bugmens老師提供考卷
恰好昨晚學生來提問此卷
附上剛完成的個人詳解
敬請指正

附件: 2016TRML團體賽詳解（俞克斌老師提供）00.pdf (2017-7-23 17:12, 249.25 KB) / 該附件被下載次數 11554
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