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99彰化女中(部分題目)

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99彰化女中(部分題目)

以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 46分
58,54,54,50,46,46

40~44分 15人
30~39分 27人
20~29分 38人
10~19分 8人
0~ 9分 4人
缺考  1人

共計 99 人

請各位網友直接寫題號來討論
101.2.11補充
將題目重新打字,檔案需要LibreOffice才能開啟

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99彰化女中01.jpg (308.81 KB)

2010-6-5 18:43

99彰化女中01.jpg

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2010-6-5 18:43

99彰化女中02.jpg

99彰化女中答案.jpg (196.29 KB)

2010-6-5 18:43

99彰化女中答案.jpg

99彰化女中.rar (141.42 KB)

2012-2-11 15:01, 下載次數: 2825

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1.兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)?(請化為最簡分數)
[出處,93高中數學能力競賽 第二區筆試二試題]

\( \displaystyle a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2004}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2004}) \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+...+\frac{1}{2004} \)
頭尾相加
\( \displaystyle a=\frac{3007}{1003 \times 2004}+\frac{3007}{1004 \times 2003}+...+\frac{3007}{1503 \times 1504} \)
\( \displaystyle a=3007 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)

\( \displaystyle b= \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504}\Bigg)\;+\Bigg(\; \frac{1}{1504 \times 1503}+\frac{1}{1505 \times 1502}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \Bigg)\; \)
\( \displaystyle b=2 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)

5.橢圓\( \displaystyle \frac{(x-21)^2}{21}+\frac{(y-100)^2}{100}=2100 \)在第一、二、三、四象限內的面積依次為\( R_1 \)、\( R_2 \)、\( R_3 \)、\( R_4 \),則\( R_1-R_2+R_3-R_4= \)?
[提示]
高中數學101 P238,高中數學101修訂版 P240有這題
中心在\( (x_0,y_0) \),\( R_1-R_2+R_3-R_4=4 |\ x_0 y_0 |\ \)


7.如下圖,正三角形△ABC,若D,E,F將三邊分成\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=2 : (n-2) \);
(其中\( n>4 \)),且\( \overline{AD} \),\( \overline{BE} \),\( \overline{CF} \)相交所成的△PQR的面積是△ABC的\( \displaystyle \frac{1}{7} \),則n值為?

如右圖,△ABC中,D,E,F分別為三邊之三等分點,\( \overline{AD} \),\( \overline{BE} \),\( \overline{CF} \)兩兩分別交於P,Q,R,△PQR和△ABC面積比為何?
(97大安高工)
這題答案就是1:7,2: (n-2)=1:2,n=6
假如沒背到這題答案的話,原本的方法是
\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=1:t \)
\( \displaystyle △ABQ=\frac{1+t}{1+t+t^2}△ABD \),\( \displaystyle △ABD=\frac{t}{1+t}△ABC \)得\( \displaystyle △ABQ=\frac{t}{1+t+t^2}△ABC \)
最後可得到\( \displaystyle △PQR=\frac{1-2t+t^2}{1+t+t^2}△ABC \),得\( t=2 \)
以上的解法出自 國際數學奧林匹克大陸隊訓練教材 P136


101.2.11補充資料
已知:如圖6-7,△ABC中P、Q分別為邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)上的點,且\( \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=\frac{1}{2} \),\( \overline{BQ} \)與\( \overline{AP} \)相交於D。試探討圖中
(1)線段與線段之間的關係;
(2)△ABD、△BPD、△AQD和四邊形PCQD各面積之間的關係;
(3)上述諸三角形和四邊形的面積同△ABC的面積之間的關係。



101.12.18
補充另外一種解法
宋釗宜,難解數學破題
面積比.rar (7.83 KB)

102.9.20補充
若\( \displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{m}{n} \)則有
(3)\( AF:FD: DP=(m^2+mn): (n^2-m^2):m^2 \)
感謝thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&p=9976

102.11.20補充
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid9415


105.5.20補充
任意給定一個三角形\(ABC\),已知\(P、Q、R\)分別為\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)三邊上的三點,且\(\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{BQ}:\overline{QC}=\overline{CR}:\overline{RA}=2:1\),若\(\overline{CP},\overline{AQ},\overline{BR}\)兩兩交於點\(A',B',C'\)。求\(\Delta A'B'C'\)與\(\Delta\)的面積比。
(建中通訊解題 第92期)



8.x為實數時,若\( \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數,則常數a之範圍為?
(93高中數學能力競賽 雲嘉區筆試二試題)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf


9.擲一公正骰子200次,若至少出現100次正面的機率為\( \displaystyle a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} \),則數對\( (a,k)= \)?
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41934


17.n是自然數,O為原點,平面π: \( x+ny+(n+2)z=1 \)與三坐標軸相交於點\( A_n \),\( B_n \),\( C_n \),若\( V_n \)表四面體\( O-A_nB_nC_n \)的體積,求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n= \)?
[提示]
高中數學101 P186,高中數學101修訂版 P187有這題
\( \displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{n}}+\frac{z}{\frac{1}{n+2}}=1 \)
\( \displaystyle A_n=(1,0,0) \),\( \displaystyle B_n=(0,\frac{1}{n},0) \),\( \displaystyle C_n=(0,0,\frac{1}{n+2}) \)


19.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為?
(99中正預校,https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)

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想請教填充12

想請教一下
關於填充第12題 (第13格)
除了用討論的之外
有沒有比較有系統的作法?
或者是可以轉換成甚麼樣的思考模式來想這題呢??


先謝謝了!

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請教一下第6題的解題思維

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第 6 題

求兩橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) 與 \(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) 所圍區域的公共部份繞 \(x\) 軸旋轉一周所得體積為?


解答:

先求 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.\) 在第一象限的交點

(根據對稱的特性,也就是抓其中一個橢圓跟 \(x=y\) 直線在第一象限的交點),

解得交點為 \(\displaystyle\left(\frac{12}{5},\frac{12}{5}\right).\)

所求體積為 \(\displaystyle 2\left(\int_{0}^{\frac{12}{5}} \pi\cdot 9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)dx+\int_{\frac{12}{5}}^{3} \pi\cdot 16\left(1-\frac{x^2}{9}\right)dx\right)=\frac{208\pi}{5}.\)

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回復 3# sweeta 的帖子

我已經知道怎麼寫比較有規律了
^^

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想請教第8題
\(x\)為實數時,若\( \displaystyle \frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數,則常數\(a\)之範圍為   

令y=f(x)...整理出(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?
我算不出-2<a<0.這個答案ㄟ..還請知道的老師們不吝指教..謝謝~

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引用:
原帖由 idontnow90 於 2010-6-20 09:52 PM 發表
想請教第8題...令y=f(x)...整理出
(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?我算不出-2
因為y為任意實數,所以f(y)>=0恆成立的條件
就是D<0

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回復 1# bugmens 的帖子

想請教第18題,感謝。

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引用:
原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題,感謝。
這是四個積分
分子分母各除以n^2....然後各分一個給前後兩個級數
就是積分....

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