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99彰化女中(部分題目)

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原帖由 mandy 於 2011-5-20 05:59 PM 發表
請問第七題的  △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的?
由孟氏定理(Menelaus' theorem),可知 \(\displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1\),可得 \(AQ : QD\)

進一步得 \(AQ : AD\),此即為 \(\triangle ABQ : \triangle ABD.\)


註:感謝 whymath 提醒我的小錯誤,已修正!^__^

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想請教第10題,謝謝

某冬天的早上,貝克街上的福爾摩斯偵探在街頭發現一具流浪漢的屍體,福爾摩斯在早上六點半時測量其體溫為13°C,而到早上七點半時,其體溫已降到11°C,若假設室外溫度約維持在10°C,且人體正常體溫為37°C,福爾摩斯是個文武兼修的偵探,熟悉物理觀念,心想根據牛頓冷卻規律描述一個物體在常溫\(a\)°C環境下的溫度變化。如果物體的初始溫度是\(b\)°C,那麼經過\(t\)小時後的溫度是\(f(t)\)°C將滿足\( \displaystyle f(t)=a+(b-a)(\frac{1}{2})^{kt}\),此常數\(k\)與物質的性質有關,福爾摩斯據此定律推測出流浪漢死亡時間應為   

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回復 22# 阿光 的帖子

第 10 題:


設由死亡到凌晨六點半恰經過 \(t\) 小時,則


\(\displaystyle 13 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{kt}\) 且 \(\displaystyle 11 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}\)


\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{kt} = \frac{1}{9}\) 且 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}=\frac{1}{27}\)


兩式相除,可得 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3}\)


\(\Rightarrow t=2\)

故,死亡時間應為凌晨四點半。

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想請教12,13,14第2小題,15,19題的詳解要去哪裡找
thank you very much

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回復 24# 阿光 的帖子

第12,13,14(2),15,19題: http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531

可以找尋的地方有:這裡、美夢成真、PTT 數學版、google ...... ^__^

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回復 20# mandy 的帖子

關於第 8 題,先前寫此題也碰到此麻煩,

如 mandy 所說 首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"

而此題搞鬼的地方在於 \( f(x) \)  在二次式的解處可能沒有定義。

以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係

原本分子分母都是二次(以下)式,但透過平移 \( g(x)=f(x)-c \) 可將分子改成一次以下,但如果分子是常數,就沒有什麼好看的,所以

設 \( f(x)=\frac{\alpha x+\beta}{ax^{2}+bx+c}, D_{y}=(by-\alpha)^{2}-4ay(cy-\beta)\) , 且 \( a\alpha \neq0 \),則有

(a) \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \).

證  若 \( y\neq0 \) 且  \( y\in f(\mathbb{R}) \),則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有實數解,因此 \( D_{y}\geq0 \) 。

若 \( y=0 \), \( D_{y}=\alpha^{2}\geq0\Rightarrow0 \)。因此 \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \) 。

(b) \( y\neq0,\, D_{y}>0\Rightarrow y\in f(\mathbb{R}) \)

證 若 \( D_{y}>0, y\neq 0 \),則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有兩相異實根。若 \( ax^{2}+bx+c=0 \),則 \( \alpha x+\beta=0 \)。

而 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta \)  至多一共根,

因此當 \( D_{y}>0 \)  時,必存在 \( x \) 使得 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 且 \( ax^{2}+bx+c\neq0\Rightarrow f(x)=y \) 。

(c) \( \deg\left(\gcd(ax^{2}+bx+c,\alpha x+\beta)\right)=0\Leftrightarrow f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \)

證 由 (1) (2) 知,我們只須檢驗 \( D_{y}=0 \)、\( y=0 \) ,在兩集合的差異 ( \( D_y>0 \) 且 \( y\neq0 \) 同時屬於兩集合)。

假設左式成立,則 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta=0 \)  無共根。

同 (b) 論述可得 \( y\neq0 \) 且 \( D_{y}\geq0 \) 則 \( y\in f(\mathbb{R}) \) 。

易驗 \( D_{0}=\alpha^{2}\geq0 \) 且 \( f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 \) ,因此 \( f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。

假設左式不成立,則 \(ax^{2}+bx+c=0\)  和 \( \alpha x+\beta=0 \)  有共同根 \(-\frac{\beta}{\alpha}\) 。

若 \(D_{y}=0\), 且 \( f(x)=y \) ,注意方程式 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 之解必為 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  (重根),

因此 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \),但 \( f \)  在 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  無定義,故不存在 \( x \) ,使得 \( f(x)=y \) ,

同理 \(y =0 \) 時,亦不存在 \( x \) 使得 \( f(x)=0 \)

因此 \( f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。


---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子,之前有小瑕疵

回到原題,\( a=1 \) 顯然不合。而 \( a \neq 1 \),計算判別式可得 \( -2 \leq a \leq 0 \)

檢查分子是否與分母互質即 \( a^2+2a \) 是否為 0 (因式定理)

故其解為 \( -2<a<0 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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想請教(22)題

第20題
設方程式\(x^3-3x^2+ax-b=0\)有三正根,則\(a\)的最大值為\(M\),\(b\)的最大值為\(n\),求數對\((a,b)=\)   

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回復 27# frombemask 的帖子

沒有第 22 題,我想你要問的應該是第 20 題(第 22 格)吧?

第 20 題 thepiano 老師解過了,

可見 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

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請教第二題
我算出 答案是1/14
謝謝

由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)八隊作單淘汰賽,如附圖安排賽程,若此八隊的實力相當,則\(A\)、\(D\)兩隊在冠亞軍相遇的機率為   

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回復 29# arend 的帖子

填充第 2 題:

可以參考 八神庵跟 thepiano 老師的解:

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=20#p4058

另,小弟的解法是:\(\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{28}.\)

說明:\(A\) 可以任選,\(D\) 需由剩下的七個位置選到與 \(A\) 不同分支的四個之一,剩下就是兩人必須各勝兩次。

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