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99彰化女中(部分題目)

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原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題,感謝。
第 18 題:

題目:求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)\left(^5+2^5+\cdots+n^5\right)}{\left(1^3+2^3+\cdots+n^3\right)\left(1^4+2^4+\cdots+n^4\right)}\) 之值。


解答:

\(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n^2+O(n)\)

\(\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\)

\(\displaystyle 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^4+O(n^3)\)

\(\displaystyle 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\)

\(\displaystyle 1^5+2^5+\cdots+n^5=\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\)




所求 \(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{n^3}{3}\cdot\frac{n^6}{6}+O(n^7)}{\displaystyle\frac{n^4}{4}\cdot\frac{n^5}{5}+O(n^7)}=\frac{10}{9}.\)

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可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝

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引用:
原帖由 johncai 於 2010-6-24 12:41 AM 發表
可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p3916

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我想請問第三題跟第四題
我一直想用科西不等式解
但是都無法解出
可以請版上高手給點提示嗎
感謝

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第 3 題:

解答:

令\(\angle ACB=\theta,\)

則 \(\angle ABC=60^\circ -\theta,\)

由正弦定理,可得

    \(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AC}}{\sin\left(60^\circ-\theta\right)}=2\times 1\)

所以,\(\displaystyle 2\overline{AB}+3\overline{AC}=4\sin\theta+6\sin\left(60^\circ-\theta\right)\)

      \(\displaystyle =4\sin\theta+6\left(\sin60^\circ\cos\theta-\cos60^\circ\sin\theta\right)\)

      \(\displaystyle =\sin\theta+3\sqrt{3}\cos\theta\)

      \(\displaystyle \leq\sqrt{1^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}\)

      \(=2\sqrt{7}\)

故,所求最大值為 \(2\sqrt{7}.\)




ps. 如果想要知道當最大值發生時 \(\displaystyle \overline{AB},  \overline{AC}\) 各別為多少的話,

  解題時可以改以疊合處理。

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第 4 題:

由面積公式,可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = \sqrt{3}\Rightarrow bc=4\)

由餘弦定理,可得

   \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos60^\circ\)

    \(=b^2+c^2-4\)

    \(\geq2\sqrt{b^2\cdot c^2}-4\)

    \(=4\)

   \(\Rightarrow a\geq2\)(且當等號成立時,若且唯若 \(b=c\))

所以,

   \(a+b+c\geq a+2\sqrt{bc}=2+2\sqrt{4}=6\)
                    (且當等號成立時,若且唯若 \(a=2\) 且 \(b=c\))

故,\(a+b+c\) 的最小值為 \(6\)。(且此時 \(a=b=c=2\))

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瑋岳老師謝謝您

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請問第七題的  △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的?

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請問第8題如何做?

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回復 8# 八神庵 的帖子

為甚麼\(f(y)\ge 0\)的條件是\(D<0 \), 不是應該是\(D\le 0\)嗎?

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