苦思很久的第8題，究竟 \(a\) 為何不為0, -2
發現其實是在算的過程中，漏了一個很大的條件...囧
\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a}=a+\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) 之值域為實數
\(\displaystyle \Leftrightarrow 設 y=\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) ，\(y\) 之值域為實數 (不作平移這步也沒差，計算也沒變簡單XD)
\(\Rightarrow yx^2+(y-1+a)x+ay+a^2-1=0\) (心中要掛記著 \(x^2+x+a\neq0\))
(1)若 \(y=0\)，則 \(a=1\) (代回原式顯然不合) 或
\(x=-1-a\) 且 \((-1-a)^2+(-1-a)+a\neq0\) (\(\leftarrow\) 剛剛掛記著的那件事！解得 \(a\neq 0 or -2\))
(由因式定理，上式也代表 \(y\) 的分子(一次式)不能被約去，被約去的話就造不出\(y=0\)了)
也就是 \(y=0\) 這個case在 \(x=-1-a\) 且 \(a\neq 0 or -2\) 時成立！
(2)若 \(y\neq0\)，由 \(x\in R\) 條件，利用判別式法可得 \(-2\leq a\leq 0\) (這步過程和大家一樣，不詳述)
因為 \(y\) 的值域是實數全體，case(1)(2)皆要有解，交集得 \(-2<a<0\)
其實是資質駑鈍XD，一開始沒看懂tsusy大的說明，寫完後總算有了些感覺
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本帖最後由 Pacers31 於 2014-2-17 11:19 PM 編輯 ]
