試題及答案，於附件。





以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 57分

68分 1人，63分 1人，61分 1人，57分 4人

其他，

50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考　　2人

共計 182 人

3.甲乙二人競選三年子班班長，全班42人，每人一票，沒有廢票，最後甲以24:18當選。問開票過程中，甲一路領先的機率為何？
(24-18)/(24+18)=1/7
戴久永　機率名題二則漫談
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html

7.若0θ2π，則2sinθ+3cosθ的最小值為？
(72年大學聯考)
廣義的科西不等式
https://math.pro/db/thread-661-1-1.html
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=455

9.方程式(x2−3x+1)x+1=1有幾個整數解？
補充一題
How many integers x  satisfy the equation (x2−x+1)x+2=1(A)2　(B)3　(C)4　(D)5　(E)none of these
(1985AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_21)

111.6.11補充
滿足(x2−21x+109)x2−212x+2020=1的所有實數x之總和為　　　。
(109高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3467&page=1#pid22176)

11.求過P(233)而與拋物線τ:y=−x2+4x−3相切的二切線與拋物線τ所圍區域的面積為？
切線2x+y=6切點(3,0)，切線4x-y=3切點(0,-3)

110.7.31補充
設拋物線：y=x2+x+1，由A(1−2)作的兩條切線得切點B和C，求ABC的面積。
(110嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html)

111.4.24補充
設函數f(x)=x2−x的圖形為，且Q(21)為外一點，已知過Q點有兩條直線與相切，求與這兩條直線所圍成的區域面積為　　　。
(111嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3630-1-1.html)

12.f(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx−13，a,b,c,d R，若f(x)=0有四個虛根r1，r2，r3，r4，滿足r1+r2=1−i，r3r4=2−3i，則2a+b+c+d=？
a,b,c,d為實數,已知方程式x4+ax3+bx2+cx+d=0有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為13+i,另二根的和為3+4i,求a,b的值
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565　連結已失效

15.正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d)，a+c=4(b+d)，a+d=5(b+c)，求a可能的最小值為？

a=1783d，b=177d，c=1713d取d=17得a=83最小值

17.設z=cosα+isinα，ω=cosβ+isinβ，且z+ω=54+53i，求tan(α+β)之值為？
(95新竹高商)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793　連結已失效
若有兩複數分別為z=cosα+isinα，ω=cosβ+isinβ，且z+ω=54+53i，求tan(α+β)之值？
(94學年度高中數學能力競賽台南區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_Tainan_02.pdf　連結已失效


二、填充計算題
1.求計算x2+y21，y2+z21之共同部分體積
趣题：求两圆柱相交部分的体积
http://www.physixfan.com/archives/445

106.8.10新增

牟合方蓋.gif (150.03 KB)

2017-8-10 17:56

1. x2009 除以 (x−1)2(x2+1) 所得餘式為何？

解：

x2009=  x−1+12009  用二項式定理展開，
得 x2009 除以 x−12  之餘式為 2009x−2008，

設 x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008
x=i 帶入上式，找出 a,b，即可得所求.




2. 以 O 為圓心的圓上有 n 個相異點，依序為 A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n，此 n 個點將圓分割為 A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1 等 n 個扇形區域。在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 S(n，m) ，若 S(n+2，m)=p\cdot S(n+1，m)+k\cdot S(n，m)，求 p-k 之值.

解：

為方便說明，令題目所述的 n 個區域為 a_1,a_2,\ldots,a_n，

i. 若 a_1 與 a_{n-1} 同色，則

　a_1 到 a_{n-1} 有 S(n-2,m) 種塗法，

　且 a_n 有 m-1 種上色法，

　所以此 n 個區域共有 (m-1)\cdot S(n-2,m) 種塗法.

ii. 若 a_1 與 a_{n-1} 異色，則

　a_1 到 a_{n-1} 有 S(n-1,m) 種塗法，

　且 a_n 有 m-2 種上色法，

　所以此 n 個區域共有 (m-2)\cdot S(n-1,m) 種塗法.

由 i & ii，可得   S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1，m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).

故，p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.


註：其它相關資料 https://math.pro/db/thread-499-1-4.html







8. 擲一公正骰子，直到 6 點出現第 3 次才停止，設 X 表至停止時所投擲的次數，求 (1) P(X=5)=? ，(2) E(X)=?

解：

(1) P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.

(2) 出現 6 的點機率為 \displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.

　　\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.






10. (2) I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?

解：

令 S=I+A+A^2+A^3+\cdots，則 AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots，

兩式相減，可得 \left(I-A\right)S = I，

則可得 \displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}}  \\    {\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}}  \\ \end{array}} \right).




18. 求滿足 (x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9 之所有點 P(x,y) 所表區域面積.

解：

P(x,y) 到 Q(2\cos\theta, 2\sin\theta) 的距離為 3.

\Rightarrow P 到圓 x^2+y^2=2^2 的距離為 3.

畫圖，可得 P 在圓 x^2+y^2=5^2 的邊界或內部區域，

並且位在圓 x^2+y^2=1^2 的邊界或外部區域，

可得面積為 \left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.

（感謝 p75545 老師提醒！）

瑋岳大~~
您10.答案好像不對唷
S=(I-A)^-1

不知道怎麼打數學方程式>"<

感謝呀。 ^__^

眼花將兩式相減的結果由 I 看成 A.

上篇回文已改正，感恩、感恩。 ^__^

瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

總覺得 他公佈計算第2題的答案  怎麼也求不到~~很傷腦筋   也很懷疑他是不是算錯了   還是我錯了???  檢視很久，找不出來

答案應該為 \displaystyle 2\pi(16+\frac{100sin^{-1}\frac{3}{5}}{3})不帶公式，怎麼算都是這個
帶公式還是這個
\displaystyle \frac{224\pi}{3}到底是怎麼來的??不懂
橢圓表面積計算方式
h ttp://ocw.nctu.edu.tw/discuss/viewtopic.php?CID=56&Topic_ID=281　連結已失效

計算第一題
大約是這樣
寫出x ，y， z範圍
0 \leq  x  \leq  \sqrt{ 1- {y }^{ 2} }
0 \leq  y  \leq 1
z= \sqrt{ 1- {y }^{ 2} }

重積分先對x積分  然後對y積分
此為第一卦限(first octant)的值
所以記得乘上8
如附件

請問第 6  題除了硬算之外有比較好的作法嗎？ 謝謝！

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 S(n，m).

小弟上面的解法，是當作顏色可以重複使用。

^_^