引用:

原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝 ...

個人以為這個S(nm)只是因為有n塊區域與要用m種顏色的方法數代號，與C或是H等符號無關
就好像矩陣中會用aij表示是一樣的。

引用:

原帖由 armopen 於 2009-5-23 10:50 AM 發表
請問第 6  題除了硬算之外有比較好的作法嗎？ 謝謝！

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

拋磚引玉一下
(x+y)n=nk=0Cknxkyn−k 
考慮
nk=1kCknxkyn−k 
=nk=1nCk−1n−1xkyn−k 
  =nxn−1k=0Ckn−1xkyn−1−k 
  =nx(x+y)n−1
所以
  1C110(61)(65)9+2C210(61)2(65)8++10C1010(61)10
  =10(61)(61+65)9=610
再考慮
  nk=2k(k−1)Cknxkyn−k 
  =nk=2n(n−1)Ck−2n−2xkyn−k 
  =n(n−1)x2n−2k=0Ckn−2xkyn−2−k 
  =nx2(x+y)n−2
所以
  (12−1)C110(61)(65)9+(22−2)C210(61)2(65)8++(102−10)C1010(61)10
  =109(61)2(61+65)8=615
由上面兩式得到求值式為   615+610=625


初次嘗試使用jsMath發文，如果有錯誤或是關於Sigma的表示應該用別的方式，請瑋岳老師指導一下
還是可以直接從我的電腦上傳圖檔??

關於17題有個小小的看法
z+w+(−(z+w))=0
所以這三個構成封閉三角形，而長度皆為1，故為正三角形
如果我們令 54+53i 的輻角為
那麼有 +=2
接下來用tan的兩倍角公式就好了

關於11題求拋物線與兩切線間面積的問題，提供一個性質，計算起來比較簡單(不必積分，當然，如果對積分熟練的人就不必要了)
令拋物線 外一點P，過P作的兩切線PA和PB，其中A和B是切點。
過P且平行於對稱軸的直線交於C，交AB於D
那麼有PC=CD以及AD=BD
以及與弦AB所圍的拋物線弓形面積與三角形ABC的關係是
弓形面積=34(ABC)
=32(PAB)
剩下的部份就是 31(PAB)

110.8.15補充
設拋物線\Gamma：y=x^2+x+1，由A(1,-2)作\Gamma的兩條切線得切點B和C，求\Delta ABC的面積。
(110嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html)

求 \displaystyle \lim_{x\to \infty}cos^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2^2}cos^2 \frac{x}{x^3}...cos^2 \frac{x}{2^n}
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935


相同的技巧也可以用在這題
設 \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) ，試證 -1<S_n<0 。
(出處忘記了，以後再補上)

100.9.3補充
這題出自72年大學聯考
「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感　陳昭地
https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d123/12320.pdf


以下這題也是cos連乘，但解題的技巧不同
試證 \displaystyle cos(\frac{1}{2})cos(\frac{1}{3})...cos(\frac{1}{n})>\frac{2}{3} 。
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=37175　連結已失效

請問第5題怎麼做 ?

第 5 題
P 為橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 上一點(不為端點)，一魔力光點自 P 向橢圓一焦點 F 射出，在到達 \overline{PF} 中點 M 時，

會朝橢圓中心 O 折射而去，求此魔力光點自 P 經 M 到達 O 之最短路徑長________。

解答：設另一焦點為 E，連接 \overline{PE}，如下圖：

　　　在 \triangle PEF 中，因為 M,O 分別為 \overline{PF}、\overline{FE} 之中點，

　　　因此 \displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE} 且 \displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}。

　　　故，\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.

請問各位老師第四題怎麼做？
想了很久沒有頭緒

4.直角三角形△ABC三邊長 a \le b \le c ，若 log a^2+log b^2=log c^2 ，則a之最大可能值為？
[解答]
a^2 b^2=a^2+b^2
令 x=a^2 ， y=b^2
可看成坐標平面上 xy=x+y ， x \le y ， x,y \ge 0 的線性規劃
x最大值在雙曲線的頂點 (x,y)=(2,2)

謝謝老師