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106全國高中聯招

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回復 60# thepiano 的帖子

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-214-02(16-22).pdf
您指的是這篇文章第20頁的類題3的公式嗎?
(這篇文章是我用關鍵字搜尋到的,事前完全不知道有這個公式)

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-5-3 20:24 編輯 ]

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106-全國高中教師聯招(詳解整理)

106-全國高中教師聯招(詳解整理)

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106-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (627.13 KB)

2020-9-17 10:21, 下載次數: 107

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回復 61# 克勞棣 的帖子

是該連結中第17頁的定理3,
第20頁的類題,只是使用它的一例子

以這題來說,也可以多做柯西

\( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})^{2} \)

\( (\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(2+1)^{2} \)

故 \( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)\geq(2+1)^{4}=81 \)

由柯西不等式的等號條件,即可解出原程式的解為 \( \tan\theta=\sqrt{2} \)。
文不成,武不就

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回復 63# tsusy 的帖子

原來還有柯西用兩次這招,很奇妙。謝謝!

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回復 64# 克勞棣 的帖子

依稀記得,很久以前我也像 #59 處那樣炸過這題或是它的類似考古題

_______________________________________________________

承 #59 樓的算式 \( (1+x^{2})^{3}(16+x^{6})=81x^{6} \)

令 \( t = x^2 \),用力展開移項得

\( t^{6}+3t^{5}+3t^{4}-64t^{3}+48t^{2}+48t+16=0 \)

有理根檢驗法 \( t=1,2,... \) 代入得 \( t=2 \) 為方程式的一解

而因式分解得 \( (t-2)(t^{5}+5t^{4}+13t^{3}-38t^{2}-28t-8)=0 \)

再分解得 \( (t-2)^{2}(t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4) = 0 \)

因 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 \) 係數皆正,

故 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 =0 \) 無正根

因此 t 的六次方程式的正根僅有 \( t = 2 \)

故 \( \tan \theta = \sqrt{2} \)

_______________________________________________________

其實上面的算式不太重要,重要的是在這類題型中,培養使用的不等式解方程式的技能與時機

這也是我現在好像找不到當年硬暴算式的原因了(沒有留存價值)
文不成,武不就

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