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回復 40# bettytsai 的帖子

已知圓內接\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=6\),\(\overline{BC}=5\),\(\overline{AC}=4\)。
若\(\angle A\)的平分線分別交\(BC\)弦與\(BC\)弧於\(D\)、\(E\)兩點,
則下列哪些選項是正確的?
(A)\(\angle AEB:\angle AEC=3:2\)
(B)\(\overline{AD}:\overline{DE}=3:2\)
(C)\(\overline{AD}\times \overline{AE}=24\)
(D)設\(P\)為\(BEC\)弧上的一個動點,則\(\overline{AP}\)長的最大值為\(\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}\)。
[解答]
令\(\overline{AD}=x\),
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)

(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
       \(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\):\(sin \angle AEC= \)3:2    所以3:2是角度正弦比非角度比

(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
     解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\)  所以 \(\overline{AD} : \overline{DE}= 3:1\)

(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)

(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形,外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
     所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
      cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\)  sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
       2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)

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回復 30# superlori 的帖子

請問這個連結是否失效了?

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回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第三題

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引用:
原帖由 nanpolend 於 2020-4-22 11:09 發表
請教單選第三題
設\(0<b<a\),且\(a,b\)滿足\((log_2a)(log_2b)=-1\)及\(ab=4\),則\(log_a b\)的值為
(A)\(-3+2\sqrt{2}\) (B)\(3+2\sqrt{2}\) (C)\(3-2\sqrt{2}\) (D)\(-3-2\sqrt{2}\)。
[解答]
令x=log_2(a) ,y=log_2(b)
因為b<a , 所以y<x
依題意知x*y= -1 ,x+y=2
則以x,y為兩根的一元二次方程式
為k²-2k-1=0 ,解出x=1+√2 ,y=1-√2
所求=log_a (b)=log_2 (b) / log_2(a) =y/x
=(1-√2)/(1+√2 )= -3+2√2

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回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第五題

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回復 45# nanpolend 的帖子

單選第 5 題
在坐標平面上,\(A\)點坐標為\((-1,0)\),\(B\)點坐標為\((1,0)\),點\(P\)是直線\(x+y=4\)上的一個動點,則向量\(\vec{AP}+\vec{BP}\)長度的最小值為下列哪一個選項?
(A)4 (B)\(4\sqrt{2}\) (C)\(4\sqrt{3}\) (D)\(4\sqrt{5}\)
[解答]
P(t,4 - t),A(-1,0),B(1,0)
向量 AP = (t + 1,4 - t),向量 BP = (t - 1,4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t,8 - 2t)
剩下就簡單了

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回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第六題

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回復 47# nanpolend 的帖子

單選第6題
考慮滿足以下條件的正整數數對\((x,y)\):(i)\(106\le x \le 2017\);(ii)\(106\le y \le 2017\);(iii)\(8x-5y=37\)。請問\((x,y)\)共有幾組解?
(A)232 (B)233 (C)234 (D)235
[解答]
\(\begin{align}
  & 8x-5y=37 \\
& y=\frac{8x-37}{5} \\
& x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
&  \\
& 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\
& 106\le x\le 2017 \\
& 106\le x\le 1265 \\
& x=109,114,119,\cdots ,1264 \\
\end{align}\)

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回復 1# Sandy 的帖子

請教複選第12題

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回復 49# nanpolend 的帖子

第12題
設\(A,B,C\)均為二階方陣,且其各矩陣中的所有元均為整數,若滿足\(AB=\left[\matrix{2&2\cr -2&6}\right]\),\(AC=\left[\matrix{5&1\cr-13&3}\right]\),試求矩陣\(A\)可能為下列何者?
(A)\(\left[\matrix{2&0\cr 0&1}\right]\) (B)\(\left[\matrix{3&-1\cr 1&1}\right]\) (C)\(\left[\matrix{-3&1\cr 2&1}\right]\) (D)\(\left[\matrix{1&-1\cr 1&1}\right]\)
[解答]
\(\begin{align}
  & AB-AC=A\left( B-C \right)=\left[ \begin{matrix}
   -3 & 1  \\
   11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
& B-C={{A}^{-1}}\left[ \begin{matrix}
   -3 & 1  \\
   11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)
把四個選項的反矩陣求出來,再乘一乘,看所有元是否為整數

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