6.
一個實係數三次多項式函數通過
(101
2012)、
(99
2008)、
(102
2005)、
(103
2016)四點,求此函數的切線中,斜率最小的切線所在的直線方程式為?
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274
將這四點向左平移99,向下平移2008
f(0)0yf(1)y4−2y4−y−15+3yf(2)4y−11−729−yf(3)−318 11f(4)8
三次多項式在三階差分時會相等
−15+3y=29−y,
y=11
f(n)=0
C0n+11
C1n−18
C2n+18
C3n=3n3−18n2+26n
f(x)=3x3−18x2+26x
f
(x)=9x2−36x+26=9(x−2)2−10
過點
(2
4)有最小斜率-10
平移回去
過點
(101
2012)有最小斜率-10
切線方程式為
y−2012=−10(x−101),
10x+y=3022
9.
有一組正整數
a2,
a3,
a4,
a5,
a6,
a7使得
74=2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7,其中
0
ai
i(i=2,3,4,5,6,7),求數對
(a2
a3
a4
a5
a6
a7)
有唯一一組整數
a2,
a3,
a4,
a5,
a6,
a7使得
74=2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7,其中
0
ai
i(i=2,3,4,5,6,7),求
a2+a3+a4+a5+a6+a7=?
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
(97台南縣國中聯招,h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888 連結已失效)
There are unique integers
a2
a3
a4
a5
a6
a7 such that
75=2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7, where
0
ai
i for i=2,3,4,5,6,7. Find
a2+a3+a4+a5+a6+a7.
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12
(1999AMC12,
http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999)
112.6.17補充
若
n為正整數,定義
n!(讀作
n的階乘)為從1到
n的所有正整數之蓮乘積,即
n!=1
2
3

n,設
0
ak
k,其中
ak為整數,已知
2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7=74,求
a2+a3+a4+a5+a6+a7之值。
(建中通訊解題第155期,
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
10.
設甲、乙兩袋中,甲袋有1白球1黑球,乙袋有1白球,從甲袋隨機取1球放入乙袋後,再從乙袋隨機取1球放回甲袋,完成這樣的動作稱為一局,試求
n局後甲袋有1白球1黑球的機率?(答案以
n表示)
(105彰化高中,
https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
(110彰化女中,
https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)
11.
實數a,b滿足
(a+bi)101=a−bi(其中
i=
−1 ),則數對
(a
b)有組解
Find the number of ordered pairs of real numbers
(a
b) such that
(a+bi)2002=a−bi.
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12,
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
13.
將十次多項式
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10)展開後得
x10+55x9+a8x8+a7x7+

+10!,若
a8=55M,
a7=552N,其中M、N為正整數,求數對
(M
N)=?
thepiano所提供的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的,想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場,請參閱附加檔案
15.
四邊形ABCD,
AB=14、
BC=9、
CD=7、
DA=12,求四邊形ABCD的所有內切圓中,面積最大者為
Consider all quadrilaterals ABCD such that
AB=14,
BC=9,
CD=8,
\overline{DA}=12 . What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(2011AMC12A,
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
(2011中文版AMC12,
https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)
112.6.13補充
若四邊形
ABCD中,
\overline{AB}=8、
\overline{BC}=15、
\overline{CD}=17、
\overline{DA}=10,則四邊形
ABCD的內切圓面積的最大值為
。
(112大直高中,
https://math.pro/db/thread-3759-1-1.html)
計算題2.
設
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] ,若
a_n ,
a_0 ,
f(1) 均為奇數,試證:方程式
f(x)=0 沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題,h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf 連結已失效)