第 12 題：
設\( P(4,3,1) \)，\( \displaystyle \Gamma：\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3} \)，\( Q \)為\( \Gamma \)上的一動點，求\( \overline{PQ} \)的最小值=　　　。
[解答]
先求出球心 \(O(0,1,5)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標 \(A(-1,-1,3)\)，\(A\) 點即 \(\Gamma\) 所表示的圓之圓心，

再求出 \(\Gamma\) 所表示的圓半徑 \(\displaystyle r=\sqrt{13-\left(\frac{|0+2+10-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right)^2}=2\)

然後，求出 \(P(4,3,1)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標亦為 \(B(3,1,-1)\)，

且 \(P(4,3,1)\) 到平面 \(x+2y+2z-3=0\) 的距離為 \(\displaystyle \overline{PB}=\frac{|4+6+2-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\)

可得 \(\overline{AB}=6\)，

\(\overline{PQ}\) 的最小值為 \(\displaystyle \sqrt{\overline{PB}^2+\left(\overline{AB}-r\right)^2}=5.\)

註：這也是考古題，以前其他學校有出過（忘了哪幾所～）。

引用:

原帖由 weiye 於 2012-1-24 10:51 AM 發表
填充第 5 題

很多學校有考過

https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html

按照公式計算 k=2*9-2-(1/9) , 所以[k]=15 , 為何答案是16

我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 .

因為小弟記憶力太弱～所以不太會背公式，又擔心背錯～常每次都用推導的～

你上面回覆的公式是套用哪一個呢？（因為我看不太出來...＝＝）

如果是套用我之前寫的積分的方法～得到的是 \(2\left(\sqrt{81}-1\right)<k<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow 16<k<16.76...\Rightarrow [k]=16\)

如果是套用後面 bugmens 所提供的方法（較常見）～得到的是

\(1+2\left(\sqrt{81}-\sqrt{2}\right)<k<1+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{1}\right)\)

\(\Rightarrow 16.17...<k<16.88...\Rightarrow [k]=16\)



不過，由於您的答案少 \(1\) ～我猜你是用後者～～

然後我猜你的錯誤點很有可能是～\(1\) 本身已是整數不需要處理～卻不小心也拿進去分項對消處理了！

引用:

原帖由 mandy 於 2012-1-26 02:23 PM 發表
我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 .

我曾說這類題目5秒鐘就要寫出答案，我背的公式是\( 2(\sqrt{n+1}-1) \)
這公式是從weiye的積分方法所得到的，一來簡單明瞭，二來計算方便
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3381

但這公式在某些情況是錯的
總和的小數部份離整數太近，導致公式算出來的答案落到前一個整數
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9950} \frac{1}{\sqrt{k}}=198.044... \)，但\( 2(\sqrt{9951}-1)=197 \)
首項不是從1 開始，用了公式聰明反被聰明誤
97淡水商工從\( k=5 \)開始加
97台南女中還出成計算證明題，公式無用武之地

但情況一不會出現在考卷上，題目只是要你估計，不會出個刁鑽的數字讓你猜到底要不要多加1，狀況二就再把前面不要的減掉就可以了
我自己的話還滿喜歡發明速算法或公式，有時的確可以省下很多時間，但有時候條件已經改了卻沒察覺反而丟了分數，至於考試時用不用公式就看個人喜好

6
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓

有點看不大懂，謝謝。
原本是\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{100}=1\)之圓…

3.
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人, 試求四人皆互不認識的機率？　　　。
[解答]
我再提供一種算法:看成1~10排成環狀，10和1相鄰，
那麼全部就是C(10,4)=210種。

要有不相鄰的，可以看成將10個人分成四個相鄰的部分，每個部分至少兩人，
那麼分法就只有4,2,2,2或是3,3,2,2,才可以。
4,2,2,2只要選好四人，剩下就固定，所以有10種；
3,3,2,2依順序又可分為3,3,2,2或是3,2,3,2這兩種來討論:
3,3,2,2也有10種；
3,2,3,2因為轉五個之後會一樣，例如(1,2,3)(4,5)(6,7,8)(9,10)和(6,7,8)(9,10)(1,2,3)(4,5)是一樣的，
所以只有5種。
於是總共就有25種。

所求就是25/210=5/42

設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何?

引用:

原帖由 natureling 於 2012-3-9 11:36 PM 發表
設數列滿足a_n>0，且a_(n+1)=a_n/2+2011/(2a_n)，假設此數列收斂到某一實數，則此實數為何?

9.
設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何?
[解答]
令此收斂值為t
則 t=t/2+2011/(2t)
t/2=2011/(2t)
t^2=2011
t=2011^0.5 (-2011^0.5不合)

\( f(x) \)為\( x \)的三次多項式，且\( f(2007)=2、f(2008)=0、f(2009)=1、f(2010)=1 \)，求f(2011)

我用的是最基本的方式，設\( f(x)=a(x-2007)(x-2008)(x-2009)+b(x-2007)(x-2008)+c(x-2007)+2 \)去求abc
想請教的是...是否有另外的較快速的解法呢???感恩