填充題，見附加檔案。


計算題

第一題：如圖，設 \(O\) 為原點，在 \(x^2+y^2=1\) 且 \(y>0\) 上半圓的圓周上有動點 \(B\) ，\(A(2,0)\)，\(C\) 為第一象限的點，\(\triangle ABC\) 是等腰三角形，且 \(\angle BAC=90^\circ\)，

　　　　試問當 \(B\) 的點坐標為何時， \(\overline{OC}\) 會有最大值。 註：圖床已倒，請看後續回覆有圖。

　　　　參考答案：\(\displaystyle B(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\)


第二題：敘述並證明「微積分基本定理」。

參考答案：詳見～維基百科



註：感謝 yungju 老師幫忙補圖！

計算第一題我來貼個圖

平面上的坐標轉換也有~~~

1.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)　　　。

請問一下填充第一題，F(x)怎麼看出來是週期函數?有沒有相關資料可以參考??

第一題你就先代簡單的數字進去算看看就知道了
ex:f(1)=2,代進去算看看就會發現它的週期是4

16.
平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？
[解答]
畫圖觀察\(\angle AOM=\angle A'OM=30^\circ \)，\( \angle AON=120^\circ \)
令\( \overline{OM} \)直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle M=( \sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}} ) \)
令\( \overline{ON} \)直線方程式為\( \displaystyle y=- \sqrt{3}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle N=( -\sqrt{\frac{1}{7}},\sqrt{\frac{3}{7}} ) \)
算出\(\triangle MON\)面積\( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{35}} \)，菱形\(ABCD\)面積\( \displaystyle \frac{8}{\sqrt{35}} \)

115.4.11補充
平面上一橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，將\(\Gamma\)繞原點逆時針旋轉\(\displaystyle \theta (0^\circ<\theta<90^\circ)\) 後得到橢圓\(\Gamma_1\)，其中\(\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{5}\)，若\(\Gamma_1\)與\(\Gamma\)交四點，則此四點逆時針依序連接成的四邊形面積為　　　。
(115文華高中，https://math.pro/db/thread-4086-1-1.html)

感謝moun9提供資訊
橢圓\( x^2+3y^2=4 \)旋轉\( \theta \)( \( \displaystyle 0<\theta < \frac{\pi}{2} \) )後與原橢圓交於\( \displaystyle A \Bigg(\; \sqrt{2},\sqrt{\frac{2}{3}} \Bigg)\; \)、B、C、D四點，試求\( \theta \)。
(96新竹女中)


以坐標原點為旋轉中心，將橢圓Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \)反時針旋轉角度\( \theta \)(其中\( 0^o< \theta <90^o \) )得一新橢圓Γ'，則兩橢圓相交於四個點。今將此四點以坐標原點為中心，反時鐘順序依次連成一個四邊形ABCD，請問下列哪些敘述為真？
(A) \( \overline{AB}=\overline{BC} \)　(B) \( \overline{AB}=\overline{CD} \)　(C) ∠BAD=∠ABC　(D) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相平分　(E) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相垂直
(97中二中期中考)

14.
箱子裡有若干個大小相同的號碼球，其中\(i\)號球有\(i\)個(\(i=2k-1,k=1,2,\ldots,50\))。從箱子裡取出一球，每球被取的機會均等。今計算該球之球號與某數\(a\)之差的絕對值。為使這些差的絕對值之期望值為最小，求\(a\)值為_________。

請問14題的答案真的是36嗎？
應該是要算1,3,5,7,...,99的中位數
我算出來的是71耶？

第一題用複數解
設A(2), B(cosθ+isinθ)  => AB=(cosθ-2+isinθ)
=> OC=2+(cosθ-2+isinθ)(-i)
=> |OC|=9+4sqrt(2)sin(θ-45度)
=> θ=135度時|OC|最大
得B(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)

1.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)　　　。

\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x+1)}{1-f(x+1)}\)

\(=\frac{\displaystyle 1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{\displaystyle 1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}\)

\(\displaystyle =\frac{1-f(x)+1+f(x)}{1-f(x)-1-f(x)}\)

\(\displaystyle =-\frac{1}{f(x)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow f(x+4)=-\frac{1}{f(x+2)}=f(x)\)

引用:

原帖由 bugmens 於 2011-5-1 09:19 PM 發表
16.平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？

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91數甲多重選第四題