題目請見附件

6.
設\(x,y\)為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10　(B) 12　(C) 14　(D) 16

\( x,y \in R \)，若\( x^2+xy+y^2=1 \)，則\( x^2+y^2 \)之最大值？\( x^2+y^2 \)之最小值？
(高中數學101　P69)


7.
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13　(B) 23　(C) 29　(D) 49

試求\( 1! \times 1+2! \times 2+...+90! \times 90+91! \times 91 \)除以2002之餘數？
(200TRML個人賽)

2.
化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？

\( \displaystyle cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2 \pi}{7}+cos \frac{3 \pi}{7} \)
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html
IMO 1963，http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963)

112.7.27補充
求\(\displaystyle sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{4\pi}{7}-sin\frac{\pi}{7}=\)　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

3.
設\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，試求\( f(x^6) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為？

設多項式\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，則\( f(x^{12}) \)除以\( f(x) \)所得到的餘式為何？
(94台南縣國中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

2011.6.29補充
設\( f(x)=x^{2005}+x^{2004}+...+x+1 \)，試求\( f(x^{2006}) \)除以f(x)所得的餘式？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，

104.5.2補充
設多項式\( f(x)=x^{2015}+x^{2014}+\ldots+x+1 \)，則試求\( f(x^{2016}) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)


4.
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α,βγ為\( f(x)=0 \)之三根。試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值？
(96師大附中，
98中崙高中，https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)


8.
若\( \displaystyle \frac{3}{4}\le x \le 2 \)且\( f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{4x-3} \)，則當x=？時\( f(x) \)有最大值為多少？

\( y=\sqrt{3-x}+\sqrt{5x-4} \)求最大值和最小值？
(埔里高工，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=25127[/url]
97南一中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47375[/url])

求函數\( f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x} \)的值域？
(98南港高工，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=420)

另外找一題三個根號的讓各位算看看
求函數\( y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} \)的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)

104.4.12補充
設\( \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} \)，\( f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} \)，則\( f(x) \)最大值為。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6395#p6395

請問填充9,
我知道是考柯西等式成立時之條件,但是仍算不出來,請老師們指點

請教版上先進

選擇
第8與9

綜合
第5與7

謝謝

選擇8  可以參考老王老師那邊的漂亮解法

選擇9
已知\(\Delta ABC\)中，\(\angle C\)為直角，\(\overline{BC}\)上有一點\(D\)，使得\(\angle CAD=2\angle DAB\)，若\(\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{4}{5}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{27}{25}\)　(B)\(\displaystyle \frac{5}{9}\)　(C)\(\displaystyle \frac{19}{17}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
[解答]
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求
\(\displaystyle tan\angle CAD=\frac{3}{4}=\frac{2tan\angle BAD}{1-tan^2 \angle BAD}\)
可得\(\displaystyle tan\angle BAD=\frac{1}{3}\)
又\(\displaystyle tan\angle BAC=tan3\angle BAD=\frac{3tan\angle BAD-tan^3 \angle BAD}{1-3tan^2 \angle BAD}\)
可知\(\displaystyle tan\angle BAC=\frac{13}{9}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\)
這樣就可以得到結果

綜合7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[提示]
先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係  與  夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點  可以得到 \( | \alpha |\)  就可以算面積

想請教一下選擇第10題
總覺得算的出來，但卡住了~
麻煩幫忙解答，謝謝!

選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\)　(B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
\(S=w+2w^2+3w^3+.....+9w^9\)
\(wS=        w^2+2w^3+.....+8w^9+9w^{10}\)
相減
\((1-w)S=w+w^2+w^3+.....+w^9-9w^{10}\)
剩下取絕對值化簡就可以做出來了