三個數的   算術平均  大於等於 幾何平均
等號成立時

妙招…

在下也玩了類似的方法

配方 \( (\beta-\alpha)^{2}=-3\alpha^{2}\Rightarrow|\alpha|=2 \)

硬分解 \( (\beta-\alpha+\sqrt{3}i\alpha)(\beta-\alpha-\sqrt{3}i\alpha)=0\Rightarrow|\beta|=2|\alpha|=4 \)

剩下來就是直角三角形面積。

剛剛看過了選擇第10題解法
還是有一點看不懂
可否詳細解答一下，謝謝!

選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\)　(B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
利用

\( \omega^{9}=1 \) 和 \( 1-\omega=1-\cos40^{\circ}-i\sin40^{\circ}=2\sin20^{\circ}(\sin20^{\circ}-i\cos20^{\circ}) \)

及 \(\displaystyle \omega+\omega^{2}\ldots+\omega^{9}=\frac{\omega^{10}-\omega}{\omega-1}=0 \)

化簡 10#  樓中式子，取絕對值。

想請教一下選擇第10題題目最後
|w+2w^2+3w^3+.....+9w^9|次方上還有-1次方
那是什麼意思阿????

綜合7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[解答]
先備知識:
\(a,b,c\)三複數構成正三角形的充要條件為
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca \)

(Alfors第一章習題)

所以題目條件
\(\displaystyle \beta^2-2\alpha\beta+4\alpha^2=0 \)
可以改成
\(\displaystyle (2\alpha)^2+\beta^2+0^2=(2\alpha)\beta+\beta\times0+0\times(2\alpha) \)
故\(\displaystyle (2\alpha),\beta,0 \) 構成正三角形

Ahlfors 的 Copmlex Analysis 嗎！？

這是令人罪惡的回憶…

真是厲害的方法，不過沒事的話，應該沒有會記得這個習題的性質吧

小弟再來補一個方法…

綜合 7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[解答]
注意到題目所給的條件，和所求，都是旋轉不變的條件。

所以不妨旋轉一下，使得 \( \alpha-\beta \in R^+ \)

這樣絕對值，就可以直接拿掉，然後解出 \( \alpha,\, \beta \)

然後看要用什麼方法算面積都可以

請教綜合5
我用餘式定理
到最後  不知如何下手

感謝賜教 謝謝!!

綜合5.
設\(\displaystyle f(x)=x+1+\int_0^2 g(x)dx\)，\(\displaystyle g(x)=2x-3+\int_0^1 f(x)dx\)，試求\(g(x)\)除以\((4x-1)\)之餘式為　　　。
[解答]
如附件所示
請參考

請問綜合第9題要怎樣下手
硬算嗎??
有請高手解答
感恩