若\( A=\Bigg[\; \matrix{2 & -2 \cr -3 & 1} \Bigg]\; \)，試利用矩陣的對角線化方法求\( A^n \)，其中n為自然數。
(99明倫高中，
https://math.pro/db/thread-959-1-3.html)
若\( A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 \cr 2 & 0} \Bigg]\; \)，求\( A^{50} \)。
(99國立清水高中，
https://math.pro/db/thread-1017-1-1.html)
定義A矩陣
(%i1) A:matrix([2,-2],[-3,1]);
(%o1) \( \Bigg[\; \matrix{2 & -2 \cr -3 & 1} \Bigg]\; \)
定義2階單位矩陣
(%i2) I: ident(2);
(%o2) \( \Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)
解特徵方程式
(%i3) determinant(A-x*I)=0;solve(%,x);
(%o3) \( (1-x)(2-x)-6=0 \)
(%o4) \( [\ x=4,x=-1 ]\ \)
第一個特徵向量
(%i5) A-rhs(%o4[1])*I;
(%o5) \( \Bigg[\; \matrix{-2 & -2 \cr -3 & -3} \Bigg]\; \)
(%i6) transpose(matrix([%o5[1][2],-%o5[1][1]]));
(%o6) \( \Bigg[\; \matrix{-2 \cr 2} \Bigg]\; \)
第二個特徵向量
(%i7) A-rhs(%o4[2])*I;
(%o7) \( \Bigg[\; \matrix{3 & -2 \cr -3 & 2} \Bigg]\; \)
(%i8) transpose(matrix([%o7[1][2],-%o7[1][1]]));
(%o8) \( \Bigg[\; \matrix{-2 \cr -3} \Bigg]\; \)
定義特徵矩陣為P
(%i9) P:addcol(%o6,%o8);
(%o9) \( \Bigg[\; \matrix{-2 & -2 \cr 2 & -3} \Bigg]\; \)
P的反矩陣
(%i10) invP:invert(P);
(%o9) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \cr -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5}} \Bigg]\; \)
注意:矩陣乘法用.而不是*
(%i11) D:invP.A.P;
(%o11) \( \Bigg[\; \matrix{4 & 0 \cr 0 & -1} \Bigg]\; \)
答案
(%i12) P.D^n.invP;
(%o12) \( \displaystyle \left[ \matrix{\displaystyle \frac{3 \cdot 4^n}{5}+\frac{2 \cdot (-1)^n}{5} & \frac{2 \cdot (-1)^n}{5}-\frac{2 \cdot 4^n}{5} \cr \frac{3 \cdot (-1)^n}{5}-\frac{3 \cdot 4^n}{5} & \frac{2 \cdot 4^n}{5}+\frac{3 \cdot (-1)^n}{5}} \right] \)
或是載入linearalgebra套件
(%i13) load(linearalgebra);
(%o13) C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.1/share/maxima/5.22.1/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
直接呼叫matrixfun求出答案
(%i14) matrixfun(lambda([x],x^n),A);
(%o14) \( \left[ \matrix{\displaystyle \frac{3 \cdot 4^n+2 \cdot (-1)^n}{5} & -\frac{2 \cdot 4^n-2 \cdot (-1)^n}{5} \cr -\frac{3 \cdot 4^n-3 \cdot (-1)^n}{5} & \frac{2 \cdot 4^n+3 \cdot (-1)^n}{5}} \right] \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
101.11.10補充
\( A=\Bigg[\; \matrix{-1 & -9 \cr 1 & -7} \Bigg]\; \)，\( A=PDP^{-1} \)，且\( \displaystyle P=\Bigg[\; \matrix{3 & 1 \cr 1 & 0} \Bigg]\; \)，求\( A^n= \)？(答案以n表示，\( n \in N \))
(101松山工農，
https://math.pro/db/thread-1482-1-3.html)
載入linearalgebra.mac才能使用matrixfun指令
(%i1) load("linearalgebra.mac");
(%o1) C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
定義A矩陣
(%i2) A:matrix([-1,-9],[1,-7]);
(%o2) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-1 & -9 \cr 1 & -7} \Bigg]\; \)
定義2階單位矩陣
(%i3) I:ident(2);
(%o3) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)
解特徵方程式，但特徵值重根
(%i4)
determinant(A-x*I)=0;
solve(%,x);
(%o4) \( (-x-7)(-x-1)+9=0 \)
(%o5) \( [ x=-4 ] \)
求第一個特徵向量
(%i6) (A-rhs(%o5[1])*I).matrix([x],[y])=matrix([0],[0]);
(%o6) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3x-9y \cr x-3y} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 \cr 0} \Bigg]\; \)
(%i7)
lhs(%)[1][1]=rhs(%)[1][1];
solve(%,[x,y]);
ev(%,%r1=1);
ev(matrix([x],[y]),%[1]);
(%o7) \( 3x-9y=0 \)
(%o8) \( [ [x=3％r1,y=％r1] ] \)
(%o9) \( [ [x=3,y=1] ] \)
(%o10) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 \cr 1} \Bigg]\; \)
求第二個特徵向量
(%i11) (A-rhs(%o5[1])*I).matrix([x],[y])=%;
(%o11) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3x-9y \cr x-3y} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{3 \cr 1} \Bigg]\; \)
(%i12)
lhs(%)[1][1]=rhs(%)[1][1];
solve(%,[x,y]);
ev(%,%r2=0);
ev(matrix([x],[y]),%[1]);
(%o12) \( 3x-9y=3 \)
(%o13) \( [ [x=3％r2+1,y=％r2] ] \)
(%o14) \( [ [x=1,y=0] ] \)
(%o15) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{1 \cr 0} \Bigg]\; \)
兩個特徵向量形成P矩陣
(%i16) P:addcol(%o10,%o15);
(%o16) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 & 1 \cr 1 & 0} \Bigg]\; \)
求P的反矩陣
(%i17) inv_P:invert(P);
(%o17) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{0 & 1 \cr 1 & -3} \Bigg]\; \)
D=P^-1.A.P
矩陣乘法用的是.不是*
(%i18) D:inv_P.A.P;
(%o18) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-4 & 1 \cr 0 & -4} \Bigg]\; \)
計算D的n次方
因為這裡的D矩陣不是對角矩陣，無法直接用D^n計算矩陣n次方，所以改用matrixfun來計算
(%i19) matrixfun(lambda([x],x^n),D);
(%o19) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(-4)^n & n(-4)^{n-1} \cr 0 & (-4)^n} \Bigg]\; \)
計算A^n=P.D^n.P^-1
(%i20) P.%.inv_P;
(%o20) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(-4)^n+3n(-4)^{n-1} & 3((-4)^n-3n(-4)^{n-1})-3(-4)^n \cr n(-4)^{n-1} & (-4)^n-3n(-4)^{n-1}} \Bigg]\; \)
A^n簡化後得到答案
(%i21) ratsimp(%);
(%o21) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(3n-4)(-4)^{n-1} & -9n(-4)^{n-1} \cr n(-4)^{n-1} & -(3n+4)(-4)^{n-1}} \Bigg]\; \)
就和matrixfun所計算A^n的結果相同
(%i22) matrixfun(lambda([x],x^n),A);
(%o22) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(3n-4)(-4)^{n-1} & -9n(-4)^{n-1} \cr n(-4)^{n-1} & -(3n+4)(-4)^{n-1}} \Bigg]\; \)
參考資料
7.THE JORDAN CANONICAL FORM
https://math.pro/db/attachment.p ... 87&t=1407797768
利用diag.mac所提供的指令來計算矩陣n次方
要載入diag.mac才能使用jordan,ModeMatrix,dispJordan指令
(%i1) load("diag.mac");
(%o1) C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/contrib/diag.mac
定義A矩陣
(%i2) A:matrix([-1,-9],[1,-7]);
(%o2) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-1 & -9 \cr 1 & -7} \Bigg]\; \)
計算A的特徵根-4,代數重數2(重根)
(%i3) EigenValue:jordan(A);
(%o3) \( [ [-4,2] ] \)
求得P矩陣
(%i4) P:ModeMatrix(A,EigenValue);
(%o4) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{3 & 1 \cr 1 & 0} \Bigg]\; \)
P的反矩陣
(%i5) inv_P:invert(P);
(%o5) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{0 & 1 \cr 1 & -3} \Bigg]\; \)
求得D矩陣
(%i6) D:dispJordan(EigenValue);
(%o6) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{-4 & 1 \cr 0 & -4} \Bigg]\; \)
計算D的n次方
(%i7) matrixfun(lambda([x],x^n),D);
(%o7) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(-4)^n & n(-4)^{n-1} \cr 0 & (-4)^n} \Bigg]\; \)
計算A^n=P.D^n.P^-1
(%i8) P.%.inv_P;
(%o8) \( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{(-4)^n+3n(-4)^{n-1} & 3((-4)^n-3n(-4)^{n-1})-3(-4)^n \cr n(-4)^{n-1} & (-4)^n-3n(-4)^{n-1}} \Bigg]\; \)
A^n簡化後得到答案
(%i9) ratsimp(%);
(%o9) \( \Bigg[\; \matrix{\displaystyle (3n-4)(-4)^{n-1} & -9n(-4)^{n-1} \cr n(-4)^{n-1} & -(3n+4)(-4)^{n-1}} \Bigg]\; \)
我另外找了兩題也是特徵根相同的題目讓各位練習，因為特徵根是1所以會比較簡單
\( A=\displaystyle \Bigg[\; \matrix{-1 & 4 \cr -1 & 3} \Bigg]\; \)，則\( A^n= \)
？
[答案]
\( \displaystyle P=\Bigg[\; \matrix{-2 & 1 \cr -1 & 0} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle P^{-1}=\Bigg[\; \matrix{0 & -1 \cr 1 & -2} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle D=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle D^n=\Bigg[\; \matrix{1 & n \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle A^n=P.D^n.P^{-1}=\Bigg[\; \matrix{1-2n & 4n \cr -n & 2n+1} \Bigg]\; \)
\( A=\displaystyle \Bigg[\; \matrix{4 & -9 \cr 1 & -2} \Bigg]\; \)，則\( A^n= \)
？
[答案]
\( \displaystyle P=\Bigg[\; \matrix{3 & 1 \cr 1 & 0} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle P^{-1}=\Bigg[\; \matrix{0 & 1 \cr 1 & -3} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle D=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle D^n=\Bigg[\; \matrix{1 & n \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle A^n=P.D^n.P^{-1}=\Bigg[\; \matrix{3n+1 & -9n \cr n & 1-3n} \Bigg]\; \)
111.7.7補充
設矩陣\(A=\left(\matrix{0&-1 \cr 1&2}\right)\)，若\(A^{111}=\left(\matrix{a&b \cr c&d}\right)\)，則\(a+c+d=\)？
(A)110 (B)111 (C)112 (D)113
(111台中市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3661-1-1.html)
103.8.11補充
設\( I=\left[ \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \right] \)，\( N=\left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，求\( (2I-N)^{103}= \)？
(103南大附中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1942&page=4#pid11839)
有完整的計算式子
