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101台中女中

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101台中女中

先貼計算證明題,晚一點女中就會公佈題目了


1. 證明 \(\LARGE\frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)



2. 直線 \(y=mx\) (其中 \(m>0\)) 與曲線 \(y=x(x-2)^2\) 有三個相異解,若兩函數交出來的兩個區域面積相等,求 \(m\) 的值為何?

101.5.5版主補充
以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 52分
取6名參加複試,錄取1名
59,57,57,53,52,52

其他,
50~51分 4人
40~49分 18人
30~39分 47人
20~29分 54人
10~19分 44人
0~9分   21人

共計  194人



【註:weiye 於 2012/05/13 更新附件中的答案檔。感謝 八神庵 老師提醒臺中女中有答案更正公告。】

附件

101台中女中.rar (341.16 KB)

2012-5-13 23:01, 下載次數: 6926

越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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1.
設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點,若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \),則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為?


11.
設有m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數之和為2012,則5m+12n的最大值為?

m個互不相同的正奇數與n個互不相同的正偶數的總和為1000,則\( 3m+4n \)的最大值是?
(新奧數教程 高二卷 第2講 平均不等式和柯西不等式)
此題的圖檔可以到這裡下載"我的教甄準備之路"的第8篇"奧數教程.rar"
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834 連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... =230321&postcount=8 連結已失效

110.5.3補充
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加,得總和為2025,所有滿足上述的自然數\(m,n\)中,\(3m+4n\)的最大值為   
(110台中女中,https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)

1. 證明 \(\displaystyle \frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)
[提示]
\( \displaystyle C_{50}^{100} \times 0.5^{50} \times 0.5^{50} \)

比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \)和0.2的大小
(98北一女中,https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)

101.5.13補充
14.
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形,頂點A、D分別在扇形的兩半徑上,頂點B、C在扇形的弧上,其中扇形的半徑為1,圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為?

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形,頂點A、D分別在扇形的兩半徑上,頂點B、C在扇形的弧上,而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r,而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角,則正方形ABCD的面積為?(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
thepiano解答,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800

101.11.11補充
扇形OAB的半徑為1,圓心角AOB等於\( 60^o \),則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上,S、P在半徑上)的最大面積為?
(101全國高中數學能力競賽 臺北市筆試二,https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

101.5.22補充
在坐標平面上,x坐標和y坐標都是整數的點稱為格子點,對任意正整數n,連接原點與點\( P_n(n,n+5) \),若此線段上除兩端點的格子點共有\( a_n \)個,則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{2012} \)之值為?

在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连结原点O与点\( A_n(n,n+3) \),用\( f(n) \)表示线段\( \overline{OA_n} \)上除端点外的整点个数,則\( f(1)+f(2)+...+f(1990) \)
(1990大陸高中數學聯合競賽,http://forum.nta.org.tw/examserv ... 485&postcount=5)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-11-12 08:06 PM 編輯 ]

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跟樓上一樣,佔個位置,買杯飲料~~~剛剛看到中女的公告,只有答案,沒有題目,實在很想由答案去編題目~~~~
可是看到成績公告,這麼難啊!!!!!!

順便第二題,三次函數對稱於反曲點。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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嗯,這次的女中真的不太好寫 = =!!

跟她們97年那次比根本是......  >"<



既然沒公佈題目,那就自己回憶了


(?) 有 \(m\) 個偶數與 \(n\) 個奇數的總和是2012,求 \(?m+?n\) 的最大值為何?

(14) 有一個扇形,圓心角是60度,裡面內寫一個正方形,正方形兩個點在扇形兩半徑上,另外兩個點在圓周上,
        求此正方形面積?




14題應該是最簡單的一題,原題有圖 ^^



話說,我一直搞不懂為什麼有的學校不公佈試題,
而且為什麼有計算題不公佈的不成文規定,
是怕被說有黑箱空間嗎?  (seriously)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-22 08:43 PM 編輯 ]
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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回復 2# bugmens 的帖子

關於計算1. 用中央極限的方法來說

個人覺得那樣做,僅有說明之效,而無證明之效

原因是,中央極限定理的陳述是談極限之情況,也就是 converge in distribution

而現在用無限近似有限,問題發生,有多近似?

當然,這點瑕疪,是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來,但未免麻煩

98 高雄市聯招 https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

的證明 1,其實也類似於本題。

本題只要寫開,就會變成高雄市那題的樣子

\(\displaystyle C^{100}_{50}\cdot \frac{1}{2^{100}} = \frac{100!}{(2\cdot4\cdot6\cdots\cdot100)^2}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots99}{2\cdot4\cdot 6\cdots100} \)

令 \( a = \) 上式

則 \(\displaystyle  a^2< \frac{1^2}{2^2-1}\frac{3^2}{4^2-1}\cdots\frac{99^2}{100^2-1}=\frac{1}{101}<\frac{1}{100} \)

開方,得證。

但是這個手法,北一女那題就不能玩了。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-13 03:43 PM 編輯 ]
網頁方程式編輯 imatheq

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幫忙回憶二題…

3P+4Q=A
P+Q=I

A為2*2的矩陣
A=[   1   3
        2   6 ]
A^7=aP+bQ       求 log 底12  1/(ab)


--------------------------------------------------------

也許線性代數中有類題,找時間查看看…

另外一題,
一長方體,給上面 對角線的 直線方式 及下面另一 對角線的 直線方式,求長方體面積?

這一題,我先求高(二鈄對角線的距離)   再利用向量相加、減來計算…二邊的向量…。再求底面積*高。

[ 本帖最後由 peter579 於 2012-4-24 09:00 PM 編輯 ]

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3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )

其實,就是t=3^x是兩個正根的條件,對嗎?

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-4-24 12:49 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-23 11:00 PM 發表
3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )
你有沒有記錯題目?

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-4-23 11:24 PM 發表


你有沒有記錯題目?
除非我緊張看錯題目,請問有人記得題目嗎?

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回復 9# mandy 的帖子

題目應該沒錯,我也記得是這樣,而且我也解無解。(我驗算兩遍)公布答案時,我以為我題目看錯(雖然覺得不太可能)。

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