原來很多教甄試題就是以前大學聯考的題目，在這列舉幾題出來
在
ABC的三邊
BC,
CA及
AB上分別取點
D
EF，使
BD=DC,
CE=2EA,
AF=3FB。設三直線
ADBECF所圍成三角形的面積為
，而
ABC的面積為
。求
=？
(69大學聯考試題)
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試證明：對於一切自然數
n，
2(
n+1−n)
1n2(n−n−1)恆成立。再計算
10000n=11n
，此處高斯符號
[x]表示正實數
x的"整數部分"。
(71大學聯考試題)
這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048
如果
滿足
cos+cos+cos=0且
sin+sin+sin=0，試證明：
cos2+cos2+cos2=0且
sin2+sin2+sin2=0
(71大學聯考試題)
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設
Sn=nk=2log2cos
2k ，求證
−1Sn0。
(72大學聯考試題)
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設
abc三數滿足
a+b+c=4a2+b2+c2=12a3+b3+c3=28，令
f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)。
若將
f(x)表成
x3+lx2+mx+n，則
n= ，而方程式
f(x)=0有一正無理根為
。
(77大學聯考試題)
\cases{a+b+c=4\cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=28}，且
a>b>c，求
(a,b,c)。
(108華江高中代理，
https://math.pro/db/thread-3171-1-1.html)
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試證
\displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} 對所有大於2之自然數
n均成立。
(78大學聯考試題)
證明
\pi^{e}<e^{\pi} 。
https://math.pro/db/thread-3420-1-1.html
111.6.3補充
e為自然常數：
(1)
\pi^e與
e^{\pi}何者較大？
(2)試證明之。
(111彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html)
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將一實心地球儀浸入水中，令其北極朝上，而北緯
30^{\circ}緯線恰與水面齊，則浮出水面部分之體積，佔全球體體積之
(註：赤道緯度為
0^{\circ}，北極為北緯
90^{\circ})。
(79大學聯考)
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設
A、
B二箱中，
A箱內有兩球，一黑一白，
B箱內有一白球。甲乙二人輪流取球，每次先由甲自
A箱內任取一球，放入
B箱內，再由乙自
B箱內任取一球，放入
A箱內，這樣稱為一局。那麼當第一局結束時，
A箱內兩球為一黑一白之機率為
。當第三局結束時，
A箱內兩球為一黑一白之機率為
。
(81大學聯考試題)
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105.4.26補充
將
\displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} 等
n個數的算術平均數記為
a_n，其標準差記為
b_n，則
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n= ，
\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= 。
(81大學聯考試題)
[解答]
算術平均數
\displaystyle =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n} \right)=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}
標準差
\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2-\overline{x}^2}
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2=\frac{1}{n}\left[ \left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^2 \right]=\frac{1}{n^3}\left[1^2+2^2+\ldots+n^2 \right]=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}-\left( \frac{n+1}{2n} \right)^2}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2-1}{12n^2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}
a_n為
\displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} 這
n個數的標準差，求
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n之值
(105台南女中，
https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)
111.2.22補充
已知數值資料
\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}，其中
\displaystyle \frac{i}{n}有
(2i+1)個，
i=1,2,3,\ldots,n，
n\in N。設此資料算術平均數為
\mu，母體標準差為
\sigma，求
\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)= 。
(103桃園高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=2#pid10297)
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\overline{P_0 P_3} 為半圓之直徑，
P_1,P_2為半圓周上兩點。令
a=\overline{P_0 P_1}，
b=\overline{P_1 P_2}，
c=\overline{P_2 P_3}，
d=\overline{P_3 P_0}。試證
d為方程式
x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0之一根。
(81大學聯考試題)
\overline{AD} 為半圓的直徑，且
\overline{AB}=2 、
\overline{BC}=7 、
\overline{CD}=11 ，則
\overline{AD}= ？
(102松山工農，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874)
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袋中有六個乒乓球，分別編號為1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球，然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出（例如第一次抽中2號球，則將1號、2號、4號、6號四球皆取出），再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取時，袋中只剩5號球的機率是多少？
(108大理高中，
https://math.pro/db/thread-3148-1-1.html)
89大學聯考試題-自然組
113.5.4補充
設
a為一正數，曲線
\sqrt{a}+\sqrt{y}=\sqrt{a}之圖形如下圖(一)。
(1)試求此曲線與
x軸及
y軸所圍成區域之面積。
(2)若過曲線上一點
\displaystyle (\frac{a}{9},\frac{4a}{9})，作此曲線之切線，而與
x軸、
y軸分別交於
X、
Y兩點。試求
\overline{OX}+\overline{OY}之值。
(89大學聯考自然組)
若過曲線
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}上一點
\displaystyle P(\frac{a}{9},\frac{4a}{9})作切線，則此切線與兩坐標軸所圍成之三角形面積：
。
(98家齊女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)
