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標題: 98中崙高中 [打印本頁]

作者: idontnow90 時間: 2009-6-29 12:05 標題: 98中崙高中

想請問下面這幾題.....如果我題目有記錯還請其他老師幫忙更正，謝謝

第一題
1,3,5,7,9五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求s1＋s2＋s3＋s4＋s5。

第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

第三題
已知A、B兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓（X－1）^2＋（Y－1）^2＋（Z－1）^2＝1相切之平面的方程式。
第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求
(1)g(α) g(β) g(γ)
(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)

第五題
α、β為實數，w 為(x－1)（x2＋x＋1）＝0之虛根，已知 3/(3-w) ＝α＋βw ，求α、β。

第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

作者: bugmens 時間: 2009-6-29 14:54

1.
1,3,5,7,9五個數字，\( s_1 \)=五個數字之和，\( s_2 \)=任兩數乘積之和，\( s_3 \)=任三數乘積之和，\( s_4 \)=任四數乘積之和，\( s_5 \)=五數之乘積。求\( s_1+s_2+s_3+s_4+s_5 \)。
[提示]
\( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)=x^5+(五個數字的和)x^4+(任兩數乘積之和)x^3+(任三數乘積之和)x^2+(任四數乘積之和)x+(五數之乘積) \)

作者: weiye 時間: 2009-6-29 14:55

第一題
\(1,3,5,7,9\) 五個數字，\(s_1=\)五個數字之和，\(s_2=\)任兩數乘積之和，\(s_3=\)任三數乘積之和，\(s_4=\)任四數乘積之和，\(s_5=\)五數之乘積。求 \(s_1＋s_2＋s_3＋s_4＋s_5\) 之值。

解答：

\(s_1＋s_2＋s_3＋s_4＋s_5 = \left(1+1\right)\left(1+3\right)\left(1+5\right)\left(1+7\right)\left(1+9\right)-1 = 3839.\)

第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

解答：

把題目坐標化，設 \(\displaystyle A(0,0), B(1,0), D(0,1)\)，則 \(\displaystyle C(1,1)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overleftrightarrow{EC}:\; 5x-2y=3\) 且 \(\displaystyle \overleftrightarrow{DF}:\; 2x+3y=3\)

解得交點 \(\displaystyle P\left(\frac{15}{19},\frac{9}{19}\right).\)

故，題目所求之 \(\displaystyle a=\frac{15}{19}, b=\frac{9}{19}.\)

第三題
已知 \(A, B\) 兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓 \(\displaystyle \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\)相切之平面的方程式。

解答：

寫出 \(\displaystyle \overleftrightarrow{AB}\) 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族

利用“球心到直線的距離＝球半徑”，求出此平面的方程式。

第五題
\(\alpha, \beta\) 為實數， \(\omega\) 為\(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\) 之虛根，已知 \(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\)，求 \(\alpha,\beta\) 。

解答：

\(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\)
\(\displaystyle \Rightarrow 3=\left(3-\omega\right)\left(\alpha+\beta\omega\right)\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\omega^2\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\left(-\omega-1\right)\)
\(\displaystyle\qquad =\left(3\alpha+\beta\right)+\left( -\alpha+4\beta\right)\omega\)

所以，\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3\alpha + \beta }\\{0 = - \alpha+4\beta }\\ \end{array}} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \alpha=\frac{12}{13}, \beta=\frac{3}{13}.\)

第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

題目是否應該加上 \(A,B,C\) 是三角形的三內角？

否則顯然當 \(\displaystyle A=B=C=\frac{\pi}{2}\) 時，顯然題目有矛盾。

解答：

(1) 利用 https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

可得，
\(\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

作者: idontnow90 時間: 2009-6-30 15:32

ok~謝謝~
那第四題勒~~~雖然我忘了題目的式子

作者: weiye 時間: 2009-6-30 15:37

第四題，

假設題目的 \(f(x),\; g(x)\) 如下方 bugmens 所述，則

題目給的四次式 \(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2\) 被三次式 \(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\) 除，所得之商式為 \(Q(x)\)，餘式為 \(-x+3\)，

則 \(g(x)=f(x)Q(x)+(-x+3)\) 且

\(\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)Q(\alpha)+(-\alpha+3)=3-\alpha,\;g(\beta)=f(\beta)Q(\beta)+(-\beta+3)=3-\beta,\;g(\gamma)=f(\gamma)Q(\gamma)+(-\gamma+3)=3-\gamma.\)

因此，

\(\displaystyle g(\alpha)\,g(\beta)\,g(\gamma)=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=f(3)=35,\)

且

\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{1}{3-\alpha}+\frac{1}{3-\beta}+\frac{1}{3-\gamma}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{(3-\alpha)(3-\beta)+(3-\beta)(3-\gamma)+(3-\gamma)(3-\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(-2)+(-3)}{35}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{36}{35}.\)

作者: bugmens 時間: 2009-6-30 19:59

第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求(1)g(α) g(β) g(γ)　(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)

我猜猜看\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，是嗎？

作者: bugmens 時間: 2009-8-10 22:37

補上出處
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中)
[提示]
(1)\( y=-x+3 \)，用\( x=3-y \)代入得\( y^3-11y^2+36y-35=0 \)
三根之積\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma)=35 \)

(2)\( \displaystyle z=\frac{1}{y}=\frac{1}{-x+3} \)
取倒數得\( \displaystyle 1-11 \frac{1}{y}+36 \frac{1}{y^2}-35 \frac{1}{y^3}=0 \)
\( 1-11z+36z^2-35z^3=0 \)
三根之和\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{36}{35} \)

設\(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\)，\(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根，試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值　　　。
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

108.5.11補充
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)，\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根，試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值　　　。
(108全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)

109.6.2補充
設\(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\)，\(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之3根。試求：\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}\)之值為　　　。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

111.5.14補充
設\(f(x)=x^3+3x^2-4x-2\)，\(g(x)=x^4+6x^3+5x^2-16x-2\)，且\(\alpha,\beta,\gamma\)為\(f(x)=0\)的三個根，則\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\)　　　。
(111全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3643-1-1.html)

附件: 高雄女中雙週一題20070402.rar (2009-8-10 22:37, 5.8 KB) / 該附件被下載次數 11141
https://math.pro/db/attachment.php?aid=117&k=4d3eeb0dce4e86cc631151dd19c24a8f&t=1732253916

作者: kittyyaya 時間: 2010-10-4 00:46

想請問各位老師,本篇第六題的第二小題,我查過早期"徐氏數學",也找不到這題三角函數的証明,麻煩各位老師能否告知,謝謝

作者: bugmens 時間: 2010-10-4 11:11

我用google找到的
http://iask.sina.com.cn/b/11811367.html

作者: kittyyaya 時間: 2010-10-5 00:03

十分感謝bugmens老師.

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