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三角函數題:證明 sin [(a+b+c)/3] >= (sin a + sin b + sin c)/3

本主題由 bugmens 於 2021-5-8 08:51 合併
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三角函數題:證明 sin [(a+b+c)/3] >= (sin a + sin b + sin c)/3

引用:

已知 \(0<a,b,c,d<\pi\)

證明

1. \[\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \ge \frac{{\left( {\sin a + \sin b} \right)}}{2}\]
2. \[\sin \left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right) \ge \frac{{\left( {\sin a + \sin b + \sin c + \sin d} \right)}}{4}\]
3. \[\sin \left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right) \ge \frac{{\left( {\sin a + \sin b + \sin c} \right)}}{3}\]
1.

\[\sin a + \sin b = 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right) \le 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \cdot 1\]

\[ \Rightarrow \frac{{\left( {\sin a + \sin b} \right)}}{2} \le \sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]



以下,模仿算幾不等式的証明法,



2.

\[\sin \left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{{\frac{{a + b}}{2} + \frac{{c + d}}{2}}}{2}} \right) \ge \frac{{\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{c + d}}{2}} \right)}}{2}\]

\[ \ge \frac{{\frac{{\sin a + \sin b}}{2} + \frac{{\sin c + \sin d}}{2}}}{2} = \frac{{\sin a + \sin b + \sin c + \sin d}}{4}\]



3.

令 \(d = \frac{{a + b + c}}{3}\) → \(3d=a+b+c\) → \(a+b+c+d = 4d\) → \(\frac{a+b+c+d}{4} = d\)

由 \(\sin \left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right) \ge \frac{{\sin a + \sin b + \sin c + \sin d}}{4}\)

可得
\[\sin \left( d \right) \ge \frac{{\sin a + \sin b + \sin c + \sin d}}{4}\]
\[ \Rightarrow 4\sin \left( d \right) \ge \sin a + \sin b + \sin c + \sin d\]
\[ \Rightarrow 3\sin \left( d \right) \ge \sin a + \sin b + \sin c\]
\[ \Rightarrow \sin \left( d \right) \ge \frac{{\sin a + \sin b + \sin c}}{3}\]
\[ \Rightarrow \sin \left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right) \ge \frac{{\sin a + \sin b + \sin c}}{3}.\]

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求證三角函數不等式

\(f(x)=sinx,0\le x \le \pi\),已知\(\Delta ABC\),則\(\displaystyle \frac{A+B+C}{3}\ge \frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}\)
請問理由為何?謝謝

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https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

或由函數的凹向性亦可得知。

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由圖形可看出凹口向下時 sinA+sinB<=2sin(A+B)
但是三個的時候我就看不出來了,請瑋岳老師幫忙回答好嗎,謝謝!!

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設 \(\varphi\) 在其定義域內為開口凹向下的實函數,

對在其定義域內的點 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\),

且 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 為正實數,恆有

\(\displaystyle \varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \geq \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i}.\)

搜尋關鍵字:Jensen's inequality

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