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標題: 98彰化女中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2009-5-21 18:07 標題: 98彰化女中

試題及答案，於附件。

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 57分

68分 1人，63分 1人，61分 1人，57分 4人

其他，

50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考　　2人

共計 182 人

附件: 98彰化女中.pdf (2009-5-21 18:07, 120.96 KB) / 該附件被下載次數 20555
https://math.pro/db/attachment.php?aid=26&k=bd73fcf1925973b072a617d36a4b4f79&t=1714094249

作者: bugmens 時間: 2009-5-21 18:43

3.甲乙二人競選三年子班班長，全班42人，每人一票，沒有廢票，最後甲以24:18當選。問開票過程中，甲一路領先的機率為何？
(24-18)/(24+18)=1/7
戴久永　機率名題二則漫談
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html

7.若\( 0<θ<\frac{π}{2} \)，則\(\displaystyle \frac{2}{sinθ}+\frac{3}{cosθ} \)的最小值為？
(72年大學聯考)
廣義的科西不等式
https://math.pro/db/thread-661-1-1.html
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=455

9.方程式\( (x^2-3x+1)^{x+1}=1 \)有幾個整數解？
補充一題
How many integers x satisfy the equation \( (x^{2}-x+1)^{x+2}=1 \)(A)2　(B)3　(C)4　(D)5　(E)none of these
(1985AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_21)

111.6.11補充
滿足\((x^2-21x+109)^{x^2-212x+2020}=1\)的所有實數\(x\)之總和為　　　。
(109高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3467&page=1#pid22176)

11.求過\( P(\frac{3}{2},3) \)而與拋物線τ:\( y=-x^{2}+4x-3 \)相切的二切線與拋物線τ所圍區域的面積為？
切線2x+y=6切點(3,0)，切線4x-y=3切點(0,-3)

110.7.31補充
設拋物線\(\Gamma\)：\(y=x^2+x+1\)，由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\)，求\(\Delta ABC\)的面積。
(110嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html)

111.4.24補充
設函數\(f(x)=x^2-x\)的圖形為\(\Gamma\)，且\(Q(2,1)\)為\(\Gamma\)外一點，已知過\(Q\)點有兩條直線與\(\Gamma\)相切，求\(\Gamma\)與這兩條直線所圍成的區域面積為　　　。
(111嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3630-1-1.html)

12.\( f(x)=x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx-13 \)，a,b,c,d \( \in R\)，若f(x)=0有四個虛根\( r_{1} \)，\( r_{2} \)，\( r_{3} \)，\( r_{4} \)，滿足\( r_{1}+r_{2}=1-i \)，\( r_{3}r_{4}=2-3i \)，則2a+b+c+d=？
a,b,c,d為實數,已知方程式\( x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為13+i,另二根的和為3+4i,求a,b的值
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565　連結已失效

15.正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d)，a+c=4(b+d)，a+d=5(b+c)，求a可能的最小值為？

\( a=\frac{83d}{17} \)，\( b=\frac{7d}{17} \)，\( c=\frac{13d}{17} \)取d=17得a=83最小值

17.設\( z=cosα+isinα \)，\( ω=cosβ+isinβ \)，且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \)，求tan(α+β)之值為？
(95新竹高商)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793　連結已失效
若有兩複數分別為\( z=cosα+isinα \)，\( ω=cosβ+isinβ \)，且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \)，求tan(α+β)之值？
(94學年度高中數學能力競賽台南區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_Tainan_02.pdf　連結已失效

二、填充計算題
1.求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
趣题：求两圆柱相交部分的体积
http://www.physixfan.com/archives/445

106.8.10新增

圖片附件: 牟合方蓋.gif (2017-8-10 17:56, 150.03 KB) / 該附件被下載次數 11126
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4247&k=9e327ad0acef4e6fe89de85161a01a1d&t=1714094249

作者: weiye 時間: 2009-5-21 21:54

1. \(x^{2009}\) 除以 \( (x-1)^2(x^2+1) \) 所得餘式為何？

解：

\(x^{2009} =  \left\{\left(x-1\right)+1\right\}^{2009}\) 用二項式定理展開，
得 \(x^{2009}\) 除以 \(\left(x-1\right)^2\) 之餘式為 \(2009x-2008\)，

設 \(x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008\)
\(x=i\) 帶入上式，找出 \(a,b\)，即可得所求.

2. 以 \(O\) 為圓心的圓上有 \(n\) 個相異點，依序為 \(A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n\)，此 \(n\) 個點將圓分割為 \( A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1\) 等 \(n\) 個扇形區域。在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 \(S(n，m)\) ，若 \( S(n+2，m)=p\cdot S(n+1，m)+k\cdot S(n，m)\)，求 \(p-k\) 之值.

解：

為方便說明，令題目所述的 \(n\) 個區域為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，

i. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 同色，則

　\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-2,m)\) 種塗法，

　且 \(a_n\) 有 \(m-1\) 種上色法，

　所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-1)\cdot S(n-2,m)\) 種塗法.

ii. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 異色，則

　\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-1,m)\) 種塗法，

　且 \(a_n\) 有 \(m-2\) 種上色法，

　所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-2)\cdot S(n-1,m)\) 種塗法.

由 i & ii，可得  \( S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1，m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).\)

故，\(p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.\)

註：其它相關資料 https://math.pro/db/thread-499-1-4.html

8. 擲一公正骰子，直到 \(6\) 點出現第 \(3\) 次才停止，設 \(X\) 表至停止時所投擲的次數，求 (1) \(P(X=5)=?\) ，(2) \(E(X)=?\)

解：

(1) \(P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.\)

(2) 出現 \(6\) 的點機率為 \(\displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.\)

　　\(\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.\)

10. (2) \(I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?\)

解：

令 \(S=I+A+A^2+A^3+\cdots\)，則 \(AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots\)，

兩式相減，可得 \(\left(I-A\right)S = I\)，

則可得 \(\displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}}  \\
{\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}}  \\
\end{array}} \right).\)

18. 求滿足 \((x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9\) 之所有點 \(P(x,y)\) 所表區域面積.

解：

\(P(x,y)\) 到 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) 的距離為 \(3.\)

\(\Rightarrow P\) 到圓 \(x^2+y^2=2^2\) 的距離為 \(3.\)

畫圖，可得 \(P\) 在圓 \(x^2+y^2=5^2\) 的邊界或內部區域，

並且位在圓 \(x^2+y^2=1^2\) 的邊界或外部區域，

可得面積為 \(\left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.\)

（感謝 p75545 老師提醒！）

作者: dream10 時間: 2009-5-21 23:38

瑋岳大~~
您10.答案好像不對唷
S=(I-A)^-1

不知道怎麼打數學方程式>"<

作者: weiye 時間: 2009-5-22 08:39

感謝呀。 ^__^

眼花將兩式相減的結果由 \(I\) 看成 \(A.\)

上篇回文已改正，感恩、感恩。 ^__^

作者: arend 時間: 2009-5-22 23:30

瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

作者: Isaac 時間: 2009-5-23 03:07

總覺得他公佈計算第2題的答案怎麼也求不到~~很傷腦筋也很懷疑他是不是算錯了還是我錯了??? 檢視很久，找不出來

答案應該為\( \displaystyle 2\pi(16+\frac{100sin^{-1}\frac{3}{5}}{3})\)不帶公式，怎麼算都是這個
帶公式還是這個
\( \displaystyle \frac{224\pi}{3}\)到底是怎麼來的??不懂
橢圓表面積計算方式
h ttp://ocw.nctu.edu.tw/discuss/viewtopic.php?CID=56&Topic_ID=281　連結已失效

作者: Isaac 時間: 2009-5-23 03:15

計算第一題
大約是這樣
寫出x ，y， z範圍
\(0 \leq  x  \leq  \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)
\(0 \leq  y  \leq 1\)
\(z= \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)

重積分先對x積分  然後對y積分
此為第一卦限(first octant)的值
所以記得乘上8
如附件

圖片附件: ex1.gif (2009-5-23 03:57, 2.81 KB) / 該附件被下載次數 12478
https://math.pro/db/attachment.php?aid=29&k=dc52411af5b665ce68398bdf33b572e5&t=1714094249

作者: armopen 時間: 2009-5-23 10:50

請問第 6 題除了硬算之外有比較好的作法嗎？謝謝！

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

作者: weiye 時間: 2009-5-23 17:31

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 \(S(n，m).\)

小弟上面的解法，是當作顏色可以重複使用。

^_^

作者: 老王 時間: 2009-5-23 18:39

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝 ...

個人以為這個\( S(n,m) \)只是因為有\( n \)塊區域與要用\( m \)種顏色的方法數代號，與C或是H等符號無關
就好像矩陣中會用\( a_{i,j} \)表示是一樣的。

作者: 老王 時間: 2009-5-23 20:58

引用:

原帖由 armopen 於 2009-5-23 10:50 AM 發表
請問第 6 題除了硬算之外有比較好的作法嗎？謝謝！

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

拋磚引玉一下
\(\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
考慮
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kC_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}nC_{k-1}^{n-1}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =nx\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k} \)
\(\displaystyle  =nx(x+y)^{n-1} \)
所以
\(\displaystyle  1*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+2*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+10*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle  =10*(\frac{1}{6})(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{9}=\frac{10}{6} \)
再考慮
\(\displaystyle  \sum_{k=2}^{n}k(k-1)C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =\sum_{k=2}^{n}n(n-1)C_{k-2}^{n-2}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =n(n-1)x^2\sum_{k=0}^{n-2}C_{k}^{n-2}x^{k}y^{n-2-k} \)
\(\displaystyle  =nx^2(x+y)^{n-2} \)
所以
\(\displaystyle  (1^2-1)*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+(2^2-2)*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+(10^2-10)*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle  =10*9*(\frac{1}{6})^{2}(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{8}=\frac{15}{6} \)
由上面兩式得到求值式為 \(\displaystyle  \frac{15}{6}+\frac{10}{6}=\frac{25}{6} \)

初次嘗試使用jsMath發文，如果有錯誤或是關於Sigma的表示應該用別的方式，請瑋岳老師指導一下
還是可以直接從我的電腦上傳圖檔??

作者: 老王 時間: 2009-5-25 09:56

關於17題有個小小的看法
\( z+w+(-(z+w))=0 \)
所以這三個構成封閉三角形，而長度皆為1，故為正三角形
如果我們令 \(\displaystyle \frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \) 的輻角為 \( \theta \)
那麼有 \( \alpha+\beta=2\theta \)
接下來用tan的兩倍角公式就好了

作者: 老王 時間: 2009-5-25 10:23

關於11題求拋物線與兩切線間面積的問題，提供一個性質，計算起來比較簡單(不必積分，當然，如果對積分熟練的人就不必要了)
令拋物線\( \Gamma \) 外一點P，過P作\( \Gamma \)的兩切線PA和PB，其中A和B是切點。
過P且平行於\( \Gamma \)對稱軸的直線交\( \Gamma \)於C，交AB於D
那麼有\( PC=CD \)以及\( AD=BD \)
以及\( \Gamma \)與弦AB所圍的拋物線弓形面積與三角形ABC的關係是
弓形面積=\( \frac{4}{3}(ABC) \)
=\( \frac{2}{3}(PAB) \)
剩下的部份就是 \( \frac{1}{3}(PAB) \)

110.8.15補充
設拋物線\(\Gamma\)：\(y=x^2+x+1\)，由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\)，求\(\Delta ABC\)的面積。
(110嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html)

作者: bugmens 時間: 2010-3-10 11:45

求\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}cos^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2^2}cos^2 \frac{x}{x^3}...cos^2 \frac{x}{2^n} \)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935

相同的技巧也可以用在這題
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \)，試證\( -1<S_n<0 \)。
(出處忘記了，以後再補上)

100.9.3補充
這題出自72年大學聯考
「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感　陳昭地
https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d123/12320.pdf

以下這題也是cos連乘，但解題的技巧不同
試證\( \displaystyle cos(\frac{1}{2})cos(\frac{1}{3})...cos(\frac{1}{n})>\frac{2}{3} \)。
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=37175　連結已失效

作者: mandy 時間: 2010-3-15 00:47

請問第5題怎麼做 ?

作者: weiye 時間: 2010-3-15 07:43

第 5 題
\(P\) 為橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上一點(不為端點)，一魔力光點自 \(P\) 向橢圓一焦點 \(F\) 射出，在到達 \(\overline{PF}\) 中點 \(M\) 時，

會朝橢圓中心 \(O\) 折射而去，求此魔力光點自 \(P\) 經 \(M\) 到達 \(O\) 之最短路徑長________。

解答：設另一焦點為 \(E\)，連接 \(\overline{PE}\)，如下圖：

　　　在 \(\triangle PEF\) 中，因為 \(M,O\) 分別為 \(\overline{PF}\)、\(\overline{FE}\) 之中點，

　　　因此 \(\displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE}\) 且 \(\displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}\)。

　　　故，\(\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.\)

作者: Duncan 時間: 2010-5-13 00:17

請問各位老師第四題怎麼做？
想了很久沒有頭緒

作者: bugmens 時間: 2010-5-13 07:36

4.直角三角形△ABC三邊長\( a \le b \le c \)，若\( log a^2+log b^2=log c^2 \)，則a之最大可能值為？
[解答]
\( a^2 b^2=a^2+b^2 \)
令\( x=a^2 \)，\( y=b^2 \)
可看成坐標平面上\( xy=x+y \)，\( x \le y \)，\( x,y \ge 0 \)的線性規劃
x最大值在雙曲線的頂點\( (x,y)=(2,2) \)

作者: Duncan 時間: 2010-5-14 23:27

謝謝老師

作者: bugmens 時間: 2010-5-26 23:32

填充題第11題

老王所提供的解答
Γ與弦AB所圍的拋物線弓形面積與三角形ABC的關係是
弓形面積=\( \displaystyle \frac{4}{3} \)(ABC)

過了一年後我才發現這個性質是由阿基米德所證明的
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_11_07_1/page3.html
老王能利用這個性質來解題果然厲害

作者: Joy091 時間: 2010-6-2 15:05 標題: 回復 12# 老王的帖子

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

令X~Bin(10,1/6)
則原式=E(X^2)= Var(X) + (E(X))^2 = 10*(1/6)*(1-1/6) + (10*(1/6))^2 = 25/6

作者: 八神庵 時間: 2010-6-15 15:10 標題: 回復 14# 老王的帖子

感謝老王大提供這個好性質
節省一大堆積分的時間

作者: aonzoe 時間: 2011-5-21 21:25 標題: 回復 3# weiye 的帖子

請問18題的答案公佈是\(25\pi\)，還是\(24\pi\)呢？

作者: weiye 時間: 2011-5-21 21:42 標題: 回復 24# aonzoe 的帖子

第 18 題的應該是 \(24\pi.\)

第 15 題在 bugmens 的回覆之中，有寫做法＆解答。

作者: nanpolend 時間: 2011-5-23 02:38 標題: 回復 3# weiye 的帖子

填充題第一題詳解
有錯誤請指正

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=364&k=f4eb160d0be91cb05e3734eba32ca43b&t=1714094249

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=648&k=f4ee22746f9c7a8aaae4bc3cce692345&t=1714094249

作者: nanpolend 時間: 2011-5-23 14:01 標題: 回復 26# nanpolend 的帖子

填充題第3題詳解
有錯誤請指正

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=366&k=6ff61e8da22fc3c25a4362f99ae4c4bf&t=1714094249

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=367&k=e8f41793b05c9905fe8e2ff7f19de935&t=1714094249

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作者: nanpolend 時間: 2011-5-23 18:24 標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

填充題第4題詳解
有錯誤請指正

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作者: cally0119 時間: 2011-5-23 22:12

不好意思,請問一下為什麼計算第2題及填充第9題的連結連不上去?

作者: weiye 時間: 2011-5-24 11:34 標題: 回復 29# cally0119 的帖子

填充第9題 → USA → AMC12 → 1985

計算第2題 → 大概那個站的討論區網址換了吧？可能要問那個站才知道換到哪裡去了！

作者: cally0119 時間: 2011-5-24 19:05

喔!原來如此,沒關係我已經知道如何解了,謝謝!!

作者: pgcci7339 時間: 2011-5-25 02:32

請問一下填充第13題和計算第二題要如何算呢？

計算第二題我知道要用旋轉體積分公式做，但積出來的答案還會有arcsin的東西..

謝謝：)

作者: YAG 時間: 2011-8-10 15:20 標題: 填充第16題怎麼作

彰化女中填充第16題怎麼作

作者: Joy091 時間: 2011-8-11 15:18 標題: 回復 33# YAG 的帖子

16. 若 \( f(x)=5－6x＋x^2 \)，求滿足 \( f(x)+f(y)\leq 0\) 及 \( f(x)－f(y)\geq 0\)  的 \(P(x, y)\) 所表區域面積。

答 : \(4\pi\)

整理 \( f(x)+f(y)\leq 0\)  可得 \((x-3)^2+(y-3)^2\leq 8\) ，為一圓心在 \((3,3)\)  且半徑為 \(\sqrt{8}\) 的圓

整理 \( f(x)-f(y)\geq 0\)  可得 \((x-y)(x+y-6)\geq 0\) ，恰為一對相交於 \((3,3)\)  的 \(\frac{1}{4}\)  平面

因此  \(P(x, y)\) 所表區域為兩個半徑為  \(\sqrt{8}\) 的  \(\frac{1}{4}\) 圓，面積 \(=2\times \frac{1}{4}\times \pi \times \sqrt{8}^2=4\pi\)

作者: 阿光 時間: 2011-9-29 21:16

想請教計算第二題,謝謝

作者: frombemask 時間: 2013-7-15 16:32 標題: 98彰女

正整數\(a,b,c,d\)滿足\(a+b=3(c+d), a+c=4(b+d), a+d=5(b+c)\), 求\(a\)可能的最小值。

作者: tsusy 時間: 2013-7-15 17:38 標題: 回復 1# frombemask 的帖子

聯立方程式，可以解出 a:b:c:d，的最小正整數比就是答案

是否和另一篇合併? https://math.pro/db/thread-741-4-6.html

作者: weiye 時間: 2013-7-15 18:04

相同題目，合併主題完畢。

作者: thepiano 時間: 2013-7-15 19:01

引用:

原帖由 frombemask 於 2013-7-15 04:32 PM 發表
正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d), a+c=4(b+d), a+d=5(b+c), 求a可能的最小值。

令 b = md，c = nd (m 和 n 是有理數)
a = (-m + 3n + 3)d = (4m - n + 4)d = (5m + 5n - 1)d

-m + 3n + 3 = 4m - n + 4
4m - n + 4 = 5m + 5n - 1
m = 7/17，n = 13/17
b：c：d = 7：13：17

所求 = 3(13 + 17) - 7 = 83

作者: frombemask 時間: 2013-7-21 00:23

感謝我了解了

作者: studentJ 時間: 2014-10-15 10:27

不好意思請教一下各位老師

為什麼填充7不能用算幾不等式

2/sinx+3/cosx >= 2[根號(6 / sinx cosx) ]

>= 2 [根號 (12/ sin2x)]

0<2X<180 => 0 < sin2x <=1

所以所求=>2(根號12)

請問一下是哪邊不符合他的限制!

作者: studentJ 時間: 2014-10-15 12:29 標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

請教一下各位老師

第三題
在3:2的CASE中

為什麼前面，甲領先的機率是2/5

後面的X-Y/X+Y卻是1/5

[ 本帖最後由 studentJ 於 2014-10-15 12:30 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-10-15 12:40 標題: 回復 41# studentJ 的帖子

因為\(sin 2x=1\)時，\(\displaystyle \frac{2}{\sin x}\ne \frac{3}{\cos x}\)

作者: thepiano 時間: 2014-10-15 12:48 標題: 回復 42# studentJ 的帖子

可參考許介彥老師的大作"數學悠哉遊" P139

作者: tsusy 時間: 2014-10-15 19:17 標題: 回復 41# studentJ 的帖子

個人比較喜歡的說法是「你做的事都對，沒有任何一個錯誤，但就如同 0 = 0 也是對的一樣，但可能徒勞無功」

不等式 \( \neq \) 極值。極值的確定，需要不等式加上等號。

#43 鋼琴兄已點出了「等號不成立」

另一種常見的錯誤，則是不等式沒處理好，就急著硬上等號

作者: studentJ 時間: 2014-10-15 19:22

謝謝兩位大師指教!!!

作者: mathca 時間: 2015-12-12 22:10 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請教填充第15題，除了解聯立方程(移項、高斯消去、令參數)，可否有其他看法？

抱歉，在39F看到有另解。

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-12 10:17 PM 編輯 ]

作者: mathca 時間: 2015-12-24 15:27 標題: 回復 1# weiye 的帖子

請教計算第4題，
算到後來，
(sinx)^2 / 2^2n * [sin(x/2^n)]^2 如何在往下化簡，感謝。

答案： (sinx)^2 / x^2 ， x不等於零時

作者: thepiano 時間: 2015-12-24 15:46 標題: 回復 48# mathca 的帖子

\(\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{2}^{2n}}{{\sin }^{2}}\frac{x}{{{2}^{n}}}}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}\times \frac{{{x}^{2}}}{{{2}^{2n}}{{\sin }^{2}}\frac{x}{{{2}^{n}}}}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}\times \sin {{\left( \frac{\frac{x}{{{2}^{n}}}}{\sin \frac{x}{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\)

作者: 陸韋翰 時間: 2019-1-21 13:03

請問彰女98 計算第二題
怎麼求橢圓旋轉體的表面積?

作者: weiye 時間: 2019-1-21 14:31 標題: 回復 50# 陸韋翰的帖子

令曲線參數式 \(x= 5 \cos t, y = 4 \sin t\)，其中 \(0\leq t\leq\pi\)，再利用旋轉體求表面積的積分得到的結果是.....

剛剛查了一下維基百科"橢球"，有個近似公式....

套入近似公式看看，取 p=1.6075)，數值結果跟上面的答案很接近。

再套入近似公式看看，取 p=1，數值結果跟上面的答案誤差又多了一點點點，不過跟官方給的答案一樣了。

................

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作者: 陸韋翰 時間: 2019-1-22 12:34

謝謝老師!

作者: martinofncku 時間: 2020-3-29 07:15

請問老師填充題 13 後頭的在直線之正射影長應如何計算？

作者: thepiano 時間: 2020-3-29 12:52 標題: 回復 53# martinofncku 的帖子

求線段 AB 在該直線方向向量上的正射影長

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