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標題: 62-81大學聯考試題 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2016-1-30 07:43 標題: 62-81大學聯考試題

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作者: bugmens 時間: 2016-1-30 07:44

原來很多教甄試題就是以前大學聯考的題目，在這列舉幾題出來

在\(\Delta ABC\)的三邊\(\overline{BC}\),\(\overline{CA}\)及\(\overline{AB}\)上分別取點\(D,E,F\)，使\(\overline{BD}=\overline{DC}\),\(\overline{CE}=2\overline{EA}\),\(\overline{AF}=3\overline{FB}\)。設三直線\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)所圍成三角形的面積為\(\delta\)，而\(\Delta ABC\)的面積為\(\Delta\)。求\(\displaystyle \frac{\delta}{\Delta}=\)？
(69大學聯考試題)
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試證明：對於一切自然數\(n\)，\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\)，此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題)

這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

如果\(\alpha,\beta,\gamma\)滿足\(cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0\)且\(sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0\)，試證明：\(cos 2\alpha+cos 2\beta+cos 2\gamma=0\)且\(sin2 \alpha+sin 2\beta+sin 2\gamma=0\)
(71大學聯考試題)
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設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^{n} log_2 \Bigg[\; cos \frac{\pi}{2^k} \Bigg]\; \)，求證\(-1<S_n<0\)。
(72大學聯考試題)
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設\(a,b,c\)三數滿足\(\cases{a+b+c=4\cr a^2+b^2+c^2=12\cr a^3+b^3+c^3=28}\)，令\(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\)。
若將\(f(x)\)表成\(x^3+lx^2+mx+n\)，則\(n=\)　　　，而方程式\(f(x)=0\)有一正無理根為　　　。
(77大學聯考試題)

\(\cases{a+b+c=4\cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=28}\)，且\(a>b>c\)，求\((a,b,c)\)。
(108華江高中代理，https://math.pro/db/thread-3171-1-1.html)
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試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題)

證明\( \pi^{e}<e^{\pi} \)。
https://math.pro/db/thread-3420-1-1.html

111.6.3補充
\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。
(111彰化女中，https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html)
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將一實心地球儀浸入水中，令其北極朝上，而北緯\(30^{\circ}\)緯線恰與水面齊，則浮出水面部分之體積，佔全球體體積之　　　(註：赤道緯度為\(0^{\circ}\)，北極為北緯\(90^{\circ}\))。
(79大學聯考)
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設\(A\)、\(B\)二箱中，\(A\)箱內有兩球，一黑一白，\(B\)箱內有一白球。甲乙二人輪流取球，每次先由甲自\(A\)箱內任取一球，放入\(B\)箱內，再由乙自\(B\)箱內任取一球，放入\(A\)箱內，這樣稱為一局。那麼當第一局結束時，\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為　　。當第三局結束時，\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為　　　。
(81大學聯考試題)
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105.4.26補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)　　　，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)　　　。
(81大學聯考試題)
[解答]
算術平均數\( \displaystyle =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n} \right)=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2} \)

標準差\( \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2-\overline{x}^2} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2=\frac{1}{n}\left[ \left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^2 \right]=\frac{1}{n^3}\left[1^2+2^2+\ldots+n^2 \right]=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}-\left( \frac{n+1}{2n} \right)^2}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2-1}{12n^2}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \)

\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值　　　
(105台南女中，https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)

111.2.22補充
已知數值資料\(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\)，其中\(\displaystyle \frac{i}{n}\)有\((2i+1)\)個，\(i=1,2,3,\ldots,n\)，\(n\in N\)。設此資料算術平均數為\(\mu\)，母體標準差為\(\sigma\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=\)　　　。
(103桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=2#pid10297)
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\( \overline{P_0 P_3} \)為半圓之直徑，\(P_1,P_2\)為半圓周上兩點。令\(a=\overline{P_0 P_1}\)，\(b=\overline{P_1 P_2}\)，\(c=\overline{P_2 P_3}\)，\(d=\overline{P_3 P_0}\)。試證\(d\)為方程式\(x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0\)之一根。
(81大學聯考試題)

\( \overline{AD} \)為半圓的直徑，且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \)，則\( \overline{AD}= \)？
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874)
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袋中有六個乒乓球，分別編號為1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球，然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出（例如第一次抽中2號球，則將1號、2號、4號、6號四球皆取出），再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取時，袋中只剩5號球的機率是多少？
(108大理高中，https://math.pro/db/thread-3148-1-1.html)
89大學聯考試題-自然組

113.5.4補充
設\(a\)為一正數，曲線\(\sqrt{a}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)之圖形如下圖(一)。
(1)試求此曲線與\(x\)軸及\(y\)軸所圍成區域之面積。
(2)若過曲線上一點\(\displaystyle (\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)，作此曲線之切線，而與\(x\)軸、\(y\)軸分別交於\(X\)、\(Y\)兩點。試求\(\overline{OX}+\overline{OY}\)之值。
(89大學聯考自然組)

若過曲線\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)上一點\(\displaystyle P(\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)作切線，則此切線與兩坐標軸所圍成之三角形面積：　　　。
(98家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)

作者: cefepime 時間: 2016-7-21 23:38 標題: 請教一題大學聯考計算題

(出處: 1998 年，自然組)

設 a > 0，O (0,0) 為原點。在拋物線 ay = a² - x² 上取一點 P(s , t)，s > 0。過 P 點作拋物線之切線，交 x軸, y軸於 Q，R 兩點。當 P 點變動時，△OQR 面積的最小值為何? 答案: (4√3/9)a²

請教若要指導高中生解此題，各位高明會採取何種方法? 謝謝!

作者: eyeready 時間: 2016-7-22 17:39 標題: 回復 1# cefepime 的帖子

小弟作法是求出過P點的切線方程式，再求出此切線與兩坐標軸交點，就可列出三角形面積的關係式，再用算幾或微分求出極值
PS：小弟才疏學淺，只能提供平民式作法

作者: cefepime 時間: 2016-7-22 22:24

感謝 eyeready 老師提供的高見。

先求切線 (可考慮: 切點微分，切點代一半公式，斜率公式) → 截距 → 目標函數 → 微分或算幾不等式求最小值。

這個標準的方法計算量稍大 (以考試時間與對象而言)，所以思及命題者是否另有用意。

自己琢磨一個方法，只是不知道此法在計算題是否可得分:

依題意， ay = a² - x² 在 P 點與 xy = k (k > 0) 相切，所求 = 2k。

⇒  a² - x² = ak/x 有(正)重根 (或者用切點代一半公式於兩曲線，再比較係數)

⇒  x³ - a²x + ak = 0 有(正)重根

⇒  x³ - a²x + ak = 0 與 3x² - a² = 0 有(正)公根 (或者把上式設為 (x-b)²(x-c)，再比較係數)

⇒ 此公根 x = a /√3，代回得 y = 2a /3

⇒ 所求 = 2*(a /√3)*(2a /3) = (4√3/9)a²

請教此法是否適當，或另有其它作法，謝謝!

作者: eyeready 時間: 2016-7-22 22:58

感謝cefeprime提供如此有創意的解法，但小弟愚頓，想請問為何要找xy=k，而不找其它曲線呢？又為何相切時與三角形面積最小會有關係呢？如果能加以說明論述應該就沒問題了！

作者: anyway13 時間: 2016-7-23 01:13 標題: 請參考想法

謝謝eyeready 及cafepime兩位老師提供的作法!

小弟直接解發現其實P(s,t)和X軸和Y軸其實是在第一象限圍成最小三角形

所以s>0,t>0 接著利用切線就題意解發現絕對值裡面的東西可以用算幾不等式

請參閱附件在圖形上m的斜率其實是負的所以這才保證最後的三個部分是正的可以用算幾

算出來最小值是(4s^(2)t^(2))^(1/3)*(3/2) 讓這三個部分相等在計算上會很複雜,但是由算幾的結論

可以推知cafepime大用xy=k去解釋很聰明的想法!

請參閱想法!

圖片附件: IMAG2088.jpg (2016-7-23 01:13, 456.93 KB) / 該附件被下載次數 6267
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3609&k=d93ff6b9ed74423cb6bc0f9a1c44c5f4&t=1732259655

作者: cefepime 時間: 2016-7-23 13:47

剛發現本題曾在 101屏東女中考過 (第8題)

https://math.pro/db/thread-1386-1-9.html

(續 3#) 該方法的構思如下:

類似於若題目求 2x - y 與 x² + y² 的最小值，則我們會分別考慮 2x - y 與 x² + y² 為定值的圖形，再分析該定值變動時的圖形變化一樣 --

依題意，先考慮一個問題: 在第一象限與 x, y 軸所圍三角形面積為定值 c 的所有直線集合為何?

→ 不難想到 (與證明) 其即為 xy = c/2 在第一象限支的所有切線集合 (x, y 軸為雙曲線 xy = c/2 的漸近線)

→ 考慮 xy = c/2 的圖形變化，將 c 由 0 附近遞增，即知當 △OQR 面積有最小值時，該拋物線在 P 點與 xy = c/2 相切

→ 以下如原帖 (3#) 所述

( 我以前用的圖床不能用了，請教如何把個人電腦裡"小畫家"的檔案直接上傳? )

作者: cefepime 時間: 2016-7-23 18:12

謝謝版主的回覆!

我也是如此嘗試，但總出現以下畫面:

http://imgur.com/a/4C15C

(圖檔不大， png)

請教是否權限不足?

謝謝版主熱心幫助 (敬禮!!)

我用你的png檔可以可以上傳成功，還是你將來放在imgur，我會幫你上傳到math pro

作者: cefepime 時間: 2016-11-9 00:45 標題: 請教一題1974年聯考題

題目與答案來源是 bugmens 老師提供的連結 https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html

(選擇題) 設 f(x) = (x¹⁵+1)(x+1) / (x⁵+1)(x³+1)，則 (A) f(x) 不是多項式 (B) ...

針對(A)選項，我的想法是: 雖然 f(x) 可以"約分"成多項式型態，但 f(x) 在 x = -1 處無定義，與"約分"後之多項式不同，故(A)是對的。

但答案(A)是錯的，並認為 f(x) = "約分"後之多項式。

請教是否我的觀念有誤，謝謝!

作者: thepiano 時間: 2016-11-9 11:25

國中的說法：多項式的x，不能在分母

作者: cefepime 時間: 2016-11-9 12:37

謝謝 thepiano 老師的解答，不知是否該版本的答案有誤?

是否有版友可提供其他來源的解答以供參照，感謝!

作者: Exponential 時間: 2018-7-3 19:57 標題: 歷屆聯考試題

請問各位有人可提供79年以前的社會組考題和62年以前的自然組考題嗎

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

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