標題: 101台中女中 [打印本頁]

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作者: poemghost    時間: 2012-4-22 16:18     標題: 101台中女中

先貼計算證明題，晚一點女中就會公佈題目了


1. 證明 \(\LARGE\frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)



2. 直線 \(y=mx\) (其中 \(m>0\)) 與曲線 \(y=x(x-2)^2\) 有三個相異解，若兩函數交出來的兩個區域面積相等，求 \(m\) 的值為何?

101.5.5版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 52分
取6名參加複試，錄取1名
59,57,57,53,52,52

其他，
50~51分 4人
40~49分 18人
30~39分 47人
20~29分 54人
10~19分 44人
0~9分   21人

共計  194人



【註：weiye 於 2012/05/13 更新附件中的答案檔。感謝 八神庵 老師提醒臺中女中有答案更正公告。】

附件: 101台中女中.rar (2012-5-13 23:01, 341.16 KB) / 該附件被下載次數 15603
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1046&k=f7a16db65a3d6ac247d21875789ce64d&t=1732279303

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作者: bugmens    時間: 2012-4-22 17:51

1.
設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？

111.6.12補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)的圖形與x軸交於二點\( A_n \)、\( B_n \)，令線段\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( L_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n= \)？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
(111香山高中，https://math.pro/db/thread-3654-1-1.html)

112.6.16補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\(y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1\)的圖形與\(x\)軸交於二點\(A_n\)、\(B_n\)，如果線段\(\overline{A_nB_n}\)之長為\(a_n\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)1　(D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(112新竹市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

11.
設有m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數之和為2012，則5m+12n的最大值為？

m個互不相同的正奇數與n個互不相同的正偶數的總和為1000，則\( 3m+4n \)的最大值是？
(新奧數教程　高二卷　第2講　平均不等式和柯西不等式)
此題的圖檔可以到這裡下載"我的教甄準備之路"的第8篇"奧數教程.rar"
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834　連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... =230321&postcount=8　連結已失效

110.5.3補充
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m,n\)中，\(3m+4n\)的最大值為　　　。
(110台中女中，https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)

111.4.19補充
已知\(n\)個相異的正奇數與\(m\)個相異的正偶數的和為1000，求\(6n+8m\)的最大值。
(111台中女中，https://math.pro/db/thread-3623-1-1.html)

1. 證明 \(\displaystyle \frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)
[提示]
\( \displaystyle C_{50}^{100} \times 0.5^{50} \times 0.5^{50} \)

比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \)和0.2的大小
(98北一女中，https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)

101.5.13補充
14.
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為？

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
thepiano解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800

101.11.11補充
扇形OAB的半徑為1，圓心角AOB等於\( 60^o \)，則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上，S、P在半徑上)的最大面積為？
(101全國高中數學能力競賽　臺北市筆試二，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

101.5.22補充
在坐標平面上，x坐標和y坐標都是整數的點稱為格子點，對任意正整數n，連接原點與點\( P_n(n,n+5) \)，若此線段上除兩端點的格子點共有\( a_n \)個，則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{2012} \)之值為？

在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点\( A_n(n,n+3) \),用\( f(n) \)表示线段\( \overline{OA_n} \)上除端点外的整点个数，則\( f(1)+f(2)+...+f(1990) \)
(1990大陸高中數學聯合競賽，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showpost.php?p=229485&postcount=5　連結已失效)

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作者: 老王    時間: 2012-4-22 20:22

跟樓上一樣，佔個位置，買杯飲料~~~剛剛看到中女的公告，只有答案，沒有題目，實在很想由答案去編題目~~~~
可是看到成績公告，這麼難啊!!!!!!

順便第二題，三次函數對稱於反曲點。

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作者: poemghost    時間: 2012-4-22 20:31

嗯，這次的女中真的不太好寫 = =!!

跟她們97年那次比根本是......  >"<



既然沒公佈題目，那就自己回憶了


(?) 有 \(m\) 個偶數與 \(n\) 個奇數的總和是2012，求 \(?m+?n\) 的最大值為何？

(14) 有一個扇形，圓心角是60度，裡面內寫一個正方形，正方形兩個點在扇形兩半徑上，另外兩個點在圓周上，
        求此正方形面積？




14題應該是最簡單的一題，原題有圖 ^^



話說，我一直搞不懂為什麼有的學校不公佈試題，
而且為什麼有計算題不公佈的不成文規定，
是怕被說有黑箱空間嗎？  (seriously)

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作者: tsusy    時間: 2012-4-23 10:16     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

關於計算1. 用中央極限的方法來說

個人覺得那樣做，僅有說明之效，而無證明之效

原因是，中央極限定理的陳述是談極限之情況，也就是 converge in distribution

而現在用無限近似有限，問題發生，有多近似？

當然，這點瑕疪，是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來，但未免麻煩

98 高雄市聯招 https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

的證明 1，其實也類似於本題。

本題只要寫開，就會變成高雄市那題的樣子

\(\displaystyle C^{100}_{50}\cdot \frac{1}{2^{100}} = \frac{100!}{(2\cdot4\cdot6\cdots\cdot100)^2}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots99}{2\cdot4\cdot 6\cdots100} \)

令 \( a = \) 上式

則 \(\displaystyle  a^2< \frac{1^2}{2^2-1}\frac{3^2}{4^2-1}\cdots\frac{99^2}{100^2-1}=\frac{1}{101}<\frac{1}{100} \)

開方，得證。

但是這個手法，北一女那題就不能玩了。

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作者: peter579    時間: 2012-4-23 12:44

幫忙回憶二題…

3P+4Q=A
P+Q=I

A為2*2的矩陣
A=[   1   3
        2   6 ]
A^7=aP+bQ       求 log 底12  1/(ab)


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也許線性代數中有類題，找時間查看看…

另外一題，
一長方體，給上面 對角線的 直線方式 及下面另一 對角線的 直線方式，求長方體面積?

這一題，我先求高(二鈄對角線的距離)   再利用向量相加、減來計算…二邊的向量…。再求底面積*高。

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作者: mandy    時間: 2012-4-23 23:00

3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )

其實，就是t＝3^x是兩個正根的條件，對嗎？

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作者: Ellipse    時間: 2012-4-23 23:24

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-23 11:00 PM 發表
3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )

你有沒有記錯題目?

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作者: mandy    時間: 2012-4-24 00:47

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-4-23 11:24 PM 發表


你有沒有記錯題目?

除非我緊張看錯題目，請問有人記得題目嗎？

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作者: tinasbaby    時間: 2012-4-24 01:21     標題: 回復 9# mandy 的帖子

題目應該沒錯，我也記得是這樣，而且我也解無解。(我驗算兩遍)公布答案時，我以為我題目看錯(雖然覺得不太可能)。

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作者: 老王    時間: 2012-4-24 07:29     標題: 回復 7# mandy 的帖子

還沒算，不過應該是至少一正根就好

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作者: neverending    時間: 2012-4-24 20:11     標題: 回復 6# peter579 的帖子

A= 1 3
      2 6
不過我怎麼算都算不出他們給的答案,還是我看錯A(???).

A的特徵多項式為t^2-7t=0,因此,A^2=7A
得到A^7=(7^6)A=(7^6)(3P+4Q),因此,a=3*(7^6),b=4*(7^6),
log(底12)1/ab=-log(底12)ab=-log(底12)12*(7^12)

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作者: t3712    時間: 2012-4-25 20:06

女中跟南一中好像都沒公布題目...此風不可長啊
本周六小弟我會去文華努力把題目記下奶
到時候再跟大家一起分享

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作者: peter579    時間: 2012-4-25 21:22     標題: 上PTT看到的討論加進來…

: 40個參賽隊伍,求任選3隊至少有2隊對打過的情形有多少種?
: 憑印象題目的意思大概如此~
: 請大大幫忙 感謝!
------------------------------
   平分成兩邊    兩邊各20隊皆須連通
   2*C(20,2) = 380
   兩邊不平分成各為20隊時    答案皆大於380
   故最少380種

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作者: Mia    時間: 2012-4-26 23:00     標題: 回復 7# mandy 的帖子

我印象中，題目是3^x-{[2(a-1)]/3^x}=(a-3) 有實數解，
分子a-1 前面還有一個數字2，這樣就能利用因式分解寫成 (3^x+2)[3^x-(a-1)]=0，解出3^x=a-1，-2(負不合)，所以a-1>0，a>1
頭一次在這邊回應，不知道這樣的解法對不對  ^^?

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作者: tsusy    時間: 2012-5-8 23:44

一直沒注意到題目公佈了

之前填充 11  一直算不出公佈的答案 580，而算出  579

不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。

考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解，

m	8	20	32	44
n	45	40	35	30

  當然後面還有，但後面的光偶數和就超過 2012 了剩下的，來檢驗一下
\( (m,n)=(8,45) \) 這組，45 個最小正奇數的和為 \( \frac{1+89}{2}\cdot 45= 2025 \) 超過 \( 2012 \)

\( (m,n)=(20,40) \), 最小的奇偶數和為 \( 20\cdot 21 + 40^2 =2020 \)

\( (m,n)=(32,35) \), 最小的奇偶數和為 \( 32\cdot 33 + 35^2 =2281 \)

而 \( (m,n)=(44,30) \) 這組，44 個最小正偶數的和為 \( \frac{2+88}{2}\cdot 44 = 44^45 = 1980 \) 再加上 30 個最小正奇數和 \( 900 \)


所以 580 這個數字，根本沒在值域裡，更何況最大值乎？！

而 579，可以找到 \( (m,n)=(15,42) \) 此時，最小奇偶數和為 \( 15\cdot 16 + 42^2= 2004 \)

再將其中一個奇數或偶數，換成大一點的，如把 30 換成  38，這樣和就剛好 2012 了

以上，如有錯誤，麻煩指正，謝謝

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-9 17:13

填充13題缺想法
請教大家

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作者: weiye    時間: 2012-5-9 17:19     標題: 回復 17# cplee8tcfsh 的帖子

填充第 13 題：

\(\displaystyle\tan\left(\alpha_2-\alpha_1\right)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan30^\circ=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha_1\tan\alpha_2=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_2-\tan\alpha_1\right)\)

同理可得下列各式

　　\(\displaystyle \tan\alpha_2\tan\alpha_3=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_3-\tan\alpha_2\right)\)

　　\(\displaystyle \tan\alpha_3\tan\alpha_4=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_4-\tan\alpha_3\right)\)

　　‧‧‧‧‧且

　　\(\displaystyle \tan\alpha_{12}\tan\alpha_1=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_1-\tan\alpha_{12}\right)\)

上列各式相加，可得

　　\(\displaystyle\tan\alpha_1\tan\alpha_2 +\tan\alpha_2\tan\alpha_3 + \tan\alpha_3\tan\alpha_4+\cdots +\tan\alpha_{12}\tan\alpha_1 =-12.\)

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-9 19:11

昨天 拿到 官方版 題目

今天 期中考 監考 無聊 寫了一些

再加上 版上的討論

整理後 如 附件 請參考
如有 謬誤 還請 指正
(一修)原填充16題 解法有誤,已修正

附件: [101台中女中參考解答] 2012TCGS_Solution.zip (2012-5-9 21:04, 234.38 KB) / 該附件被下載次數 11628
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1063&k=e87e3d27f8e2cc8b93ff789b505c897a&t=1732279303

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作者: weiye    時間: 2012-5-9 19:49     標題: 回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

第 12 題：
設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)　　　。
[解答]
彬爸的第 12 題解法好神~讚！

小弟提供一個比較凡人的做法~~

\(det(A-xI)=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow (x-3)(x-4)=0\)

令 \(x^7=(x-3)(x-4)q(x)+(mx+n)\)

\(x=3,4\) 帶入上式，可解得 \(m=4^7-3^7, n=4\cdot3^7-3\cdot4^7\)

因此，\(A^7=mA+nI=(4^7-3^7)(3P+4Q)+(4\cdot3^7-3\cdot4^7)(P+Q)=3^7\cdot P+4^7\cdot Q\)

\(\Rightarrow a=3^7, b=4^7\)






今天學校也期中考，小弟也邊監考邊寫這張～哈！

另外，第 6 題，我是令 \(p=\log_3 x, q=\log_3 y\)，

然後再用線性規劃，找 \(1+2p+q\) 最大值與最小值～再處理之。

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作者: tsusy    時間: 2012-5-9 20:34     標題: 回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

第十六題的作法好像有點問題

圖形並不只有三交點。注意 \( 6\pi \sin^2 x \) 在 0 處和 \( \frac{3\pi}{2} \) 的微分

就會知道還有兩個交點，至於圖的真相，還是交 Wolfram Alpha

接近 0 的地方 http://tinyurl.com/7cutks8

接近 \( \frac{3 \pi}{2} \) 的地方 http://tinyurl.com/8yfb9n3

這題要用的其實是對稱性，在 \( x =0 .. \frac{3\pi}{2} \) 的範圍裡

兩個函數圖形的對稱中心，都是 \( (\frac{3 \pi}{4}, 3\pi) \)，所以某一段在左邊如果是下，轉 180 度去右邊，上下關係就會反過來

故所求長度即該範圍中直線長度之半： \( \frac{1}{2} \sqrt{17} \cdot \frac{3\pi}{2} =\frac{3\sqrt{17}\pi}{4} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-9 08:45 PM 編輯 ]

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-9 20:46     標題: 回復 21# tsusy 的帖子

感謝指正.
我的作法的確有問題

看來只是純運氣不錯 才矇中答案 ^^

我等等來去修改檔案

謝謝

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作者: tsusy    時間: 2012-5-10 10:00     標題: 回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

彬爸 12 題的作法真的令人覺得神妙的詭異

而我本來的作法也和瑋岳老師走一樣的路線

不過仔細一做，會發現這題和 101 臺南二中第三題一樣 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

只是條件換掉了而已，一個給係數，一個給相乘等於 0，而實際上是一回事

再來補個對角化的作法：計算 \( A \) 的特徵值可得 \( 3,\, 4 \)

因此 \( A \) 對角化後是 \( A' = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0\\
0 & 4 \end{array} \right] \)

所以可以解出 \( P'=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\
0 & 0 \end{array}\right] \), \( Q' = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\
0 & 1 \end{array} \right] \)

而 \( A'^7 =\left[ \begin{array}{cc} 3^7 & 0\\
0 & 4^7 \end{array} \right] = 3^7 P' + 4^7 Q' \)

所以 \( a =3^7,\, b = 4^7 \)

不過這類問題，瑋岳老師的方法應該才是比較一般性的做法

只是好像，在高中裡，有些問題故意特殊化，讓它變得稍微簡單，而往往有特殊的做法

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-10 12:40     標題: 回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

解答中，第四題MD線段長，要如何解。

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-10 13:48     標題: 回復 24# shingjay176 的帖子

長方形 對角線 等長
\( \overline{MD} = \overline{MA} \)

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-10 13:54     標題: 回復 25# cplee8tcfsh 的帖子

謝謝

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-10 18:33     標題: 回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

第七題，請問彬爸，『為使任三隊中至少有兩隊相互交手過』。。。。你是如何思考分成兩組，『同組的隊伍均需交手』。。這句話跟上面那句話，如何思考解釋等價關係，
如果直接思考，從題意那句話思考破題，真不好下筆。

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-10 18:59

如果 女神組 之中 有二隊 未交手
則挑 此女神組二隊 與 宅男組 任搭一隊 此三隊便牴觸題意

背後原理 是 鴿籠原理
故 設計 二組 (三隊之中 至少二隊 同組)

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-10 19:03     標題: 回復 23# tsusy 的帖子

嗯,我的方法的確不屬正規作法...

在高中的課程裡
並未著墨 矩陣 的 特徵方程 與 對角化
因此 考題 都偏 特殊的矩陣

高中教久了
遇到題目 都不太習慣 用 線代 來處裡

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作者: 邱中    時間: 2012-5-11 02:01

請問第15題，不懂題目的意思？
我的理解是參賽者可以選相同的門，
但是我不懂獎品是怎麼分布的，以及門後可以沒有獎品嗎？

麻煩老師給點提示，感恩！

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作者: shiauy    時間: 2012-5-11 02:38

半夜偷算數學吼！！
我第一次看這題目也看不懂
就是說有5道門，門後有獎品或什麼都沒有，獎品有3種，有獎的門只會有一種獎品
五個觀眾隨便選，可能五人都拿到獎品或都沒拿到，對每位觀眾中獎機率都是3/5
〇〇①②③，你可以看成這樣，五人分別從這些球中選一個，選到數字球就有獎
數字不同獎品不同

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作者: casanova    時間: 2012-5-11 16:46

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-9 08:34 PM 發表
第十六題的作法好像有點問題

圖形並不只有三交點。注意 \( 6\pi \sin^2 x \) 在 0 處和 \( \frac{3\pi}{2} \) 的微分

就會知道還有兩個交點，至於圖的真相，還是交 Wolfram Alpha

接近 0 的地方 http://tinyurl.com/7 ...

請問要如何知道 \( y=4x \) 和 \( y=6\pi \sin^2 x \) 在 \( [ 0,\frac{3\pi}{2} ] \) 的對稱點是 \( (\frac{3\pi}{4} ,3\pi) \) 呢？

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-11 17:19     標題: 回復 32# casanova 的帖子

(1)
直線的線上任一點均為對稱點

(2)
\( y = 6 \pi \cdot {( 1- cos 2 x )\over{2}} \)
餘弦函數 值為零 的點 均為 對稱點

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作者: Ellipse    時間: 2012-5-13 11:06

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-9 07:11 PM 發表
昨天 拿到 官方版 題目

今天 期中考 監考 無聊 寫了一些

再加上 版上的討論

整理後 如 附件 請參考

#6
以下是個人淺見
這題彬爸最後寫AB剛好是焦弦
可能是碰巧,剛好~
以前有做過實驗,在圓錐曲線T內,
假設過P點的直線交T於A,B兩點
(1)若求AB的最小值,應該沒有什麼特殊的關係
(2)但是若求AB與T所圍成面積的最小值,則P必為AB的弦中點

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作者: tsusy    時間: 2012-5-13 11:22     標題: 回復 34# Ellipse 的帖子

印象中，之前也做過一題拋物線，做出來，也發現剛好是焦弦，不過也是巧合

反例，也很簡單，就把那個點沿著焦弦往曲線靠近就好了...焦弦長度不會變，

但那個點離曲線很近時，就有一條很短的弦了

高中裡的數學競賽題目，有時候會就是很喜歡考一些很巧的特殊例子，然後就會有很漂亮的作法

又像 12 題矩陣，又是一個大巧合，一般性的作法是 # 12 瑋岳老師的做法

但在 # 23，中用比較高的數學層次(特值徵)的眼光去看它，就會發現 \( P,\, Q\) 在坐標轉換的結果下

根本就是兩個無聊到漂亮的矩陣，所以對於 # 19 彬爸神一般的作法，就稍微有點不意外了

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作者: 八神庵    時間: 2012-5-13 22:47

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-8 11:44 PM 發表
一直沒注意到題目公佈了

之前填充 11  一直算不出公佈的答案 580，而算出  579

不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。

考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解，

m8 20 32 44 n 45 40 35 30

  當然後面還有，但後面的 ...

連結已失效h ttp://dhcp.tcgs.tc.edu.tw/tcgs/board/view.asp?ID=7928

tsusy大您是對的

不過5月11日才公佈....

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作者: tsusy    時間: 2012-5-13 22:58     標題: 回復 36# 八神庵 的帖子

庵大出現了，感謝告知。看來是有人向學校反應，感謝代為反應的人

其實，之前有想寫信過去，不過一來那場考試沒去考，

二來信裡寫數學符號有點麻煩，所以就放棄了

不過其實應該也不是我先發現了

早在 4/23 題目尚未公佈時，有人就曾和小弟討論此題

那時結論是，兩個人都算 579, 對方就覺得答案錯了

不過因為題目尚未公佈，手邊沒有題目，也就沒有深入探討了，不了了之了

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-14 10:40     標題: 回復 21# tsusy 的帖子

這一題圖形只要沒畫出來，就沒辦法思考題目，要如何在短時間內可以精準作圖。

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作者: tsusy    時間: 2012-5-14 15:15     標題: 回復 38# shingjay176 的帖子

精確作圖~~~微分

其實小弟做的時候也沒有精確作圖，只是先畫略圖，和彬爸一樣先看出那三個交點

然後就在想，在 \( (0,0) \) 右邊一點點的地方，那個彎的那條，是在直線上，還是直線下

然後就算了微分，發現微分是 \( 0 \) 所以在下方，之後彎上到 \( x=\frac{\pi}{2} \) 最高點間，又多一個交點

接下來往下，下個交點是 \( x=\frac{3\pi}{4} \)，之後的討論相同，得到 5 個交點。

不過畫完圖後，還是沒看出竅門。然後再看一下等式，覺得交點解不出來，代數沒希望

再看一次圖，才發現的。以上好像沒有說到什麼重點。

如果真的想精確作圖，那就微分吧...看凹向，再加幾個點

不然像彬爸一樣用 2 倍角，換成 \( \cos \) 處理，應該也可以描幾個點加上本來知道 \( \cos \)  的圖形趨勢作圖

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-15 06:45     標題: 回復 39# tsusy 的帖子

謝謝，我是換成cos兩倍角來處理。換成兩倍角處理畫出圖形後，是沒看出一個蛛絲馬跡，我來該用微分看看，看可以短時間內畫出圖形，解出答案。

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-16 09:42     標題: 回復 40# shingjay176 的帖子

我用微分，就可以把圖形畫到很準，。所以在考場上要精準作圖，一定要用微分。

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作者: natureling    時間: 2012-5-17 09:04

彬爸或其他老師：想請教一下...感謝

1. 填充第四題...如何很快看出AC中點M(1,1,1)  和   HF中點N   呢?
是把C看成(-1,3,0)嗎？   那HF的中點N又如何....@@
2.第9題，最小可能的正值是什麼意思呢??因為由彬爸給的解法看不出是什麼意思...
是指:如a_5要找5-a_1, 5-a_2,5-a_3,5-a_4當中最小可能的正值嗎???

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-9 07:11 PM 發表
昨天 拿到 官方版 題目

今天 期中考 監考 無聊 寫了一些

再加上 版上的討論

整理後 如 附件 請參考
如有 謬誤 還請 指正
(一修)原填充16題 解法有誤,已修正 ...

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作者: wumath    時間: 2012-5-17 09:32     標題: 考季接近高峰期

教甄的題目真的不簡單
非常感謝有這個地方
ㄧ起為數學而活!!!

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-17 11:49     標題: 回復 42# natureling 的帖子

填充題第四題，因兩直線是歪斜，MN正好是兩歪斜線最短距離，用參數式垂直內積為０。求M點與N點。

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-17 11:55     標題: 回復 44# shingjay176 的帖子

第九題你多寫幾項就可以看出規則，
a_4=4一a_1^２=３，a_4=4一a_3^２=０，所以取a_4為3，以此類推。

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-17 11:56     標題: 回復 16# tsusy 的帖子

第十一題，如何破題。

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作者: natureling    時間: 2012-5-17 12:08

謝謝您!!

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-17 11:55 AM 發表
第九題你多寫幾項就可以看出規則，
a_4=4一a_1^２=３，a_4=4一a_3^２=０，所以取a_4為3，以此類推。

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作者: natureling    時間: 2012-5-17 15:49

彬爸或其他老師們:
想請教第15題
意思是..可以同時2個人站在同一道門後嗎??(各自獨立隨機選門)
還有彬爸的詳解用排容原理....不理解...
能否有勞了解的大大說明一下....@@...感恩

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-9 07:11 PM 發表
昨天 拿到 官方版 題目

今天 期中考 監考 無聊 寫了一些

再加上 版上的討論

整理後 如 附件 請參考
如有 謬誤 還請 指正
(一修)原填充16題 解法有誤,已修正 ...

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作者: tsusy    時間: 2012-5-17 16:01     標題: 回復 46# shingjay176 的帖子

破題...小弟可沒這麼厲害...可以直解破解它

來說說當時的想法好了：奇數是乘 12，因此第一個想法是奇數愈多愈好

再仔細一想，就知道當然不可能全部奇數，假設全都奇數，那最大奇數很大，就可以把它拿掉，多換幾個小的偶數

接著想的是，那是奇數多少個是恰恰好呢？

剛才那個把大奇數換小的偶數的想法，這時便派上用場了，如果奇數太大，那就可以換成很多小的偶數

所以奇數和偶數必然要達到一個剛好的比例，使得奇數和偶數的互換比近似於 12:5

還有，同奇偶的數一定選愈小的愈好...這樣子才可能儘可能的多選幾個數字

所以就選出了 2, 4, 6, ....  的連續偶數，和 1,3, 5, 7, ... 的連續奇數

它們的最末項比約為 \( 5:12 \)，接著利用等差數列求和公式，其和小於 2012

估計出剛才選出的奇偶數的末項。但剛剛算出來的和是小於 2012，所以其實即使比約 \( 5:12 \)，

也有可能發生一個奇數可以換三個偶數的情況，再做做微調，看看是否附近存在更大的值。

以上大概是小弟的原始的想法，但這樣做，也許有些不嚴謹，也不保證找到的是最大值。

因此才有後來發展線性規劃的方法

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-17 16:22     標題: 回復 49# tsusy 的帖子

謝啦，我在來好好消化寸絲老師的想法。
解說的很詳細，我看完解說後，這一題的切入點，求５m+１２n要最大值，總和又要控制在２０１２，１２是一個很棒的切入點，正奇數的個數要越多約好，才有機會產生最大值，因此個數要選的多，正奇數就一定要從１，３，５，７○○○開始選，正偶數也是要從２，４，６○○○開始，這樣切入就可以接上彬爸老師寫的解答。

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-17 16:23     標題: 回復 48# natureling 的帖子

我先去上課，等等下課，在幫你解釋。
五個人各自獨立選門，所以一個門，可以兩個人選，如果門後有獎品，這兩個人就得到相同獎品。
樓下，彬爸老師，解釋的很詳細，給你一個讚，淺顯易懂。

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-17 17:24     標題: 回復 48# natureling 的帖子

五道門(甲,乙,丙,丁,戊) 三種獎品(A,B,C)
不妨假設 甲(A) 乙(B) 丙(C) 丁(無獎品) 戊(無獎品)

只有兩種獎品被選中 解讀為
(1) 甲乙丙三門中有一門無參賽者選中
(2) 剩下的二門均有參賽者選中


\( C^3_1 \) 表示 從 甲乙丙3門取1門 未有參賽者選此門(令此門為丙)

五位參賽者 從 甲乙丁戊選門 的機率 為 \( ({4 \over 5})^5 \)
若  甲門未被選中, 五位參賽者 從 乙丁戊選門 的機率 為 \( ({3 \over 5})^5 \)
若  乙門未被選中, 情形同 甲門
若 甲乙門均未被選中, 五位參賽者 從 丁戊選門 的機率 為 \( ({2 \over 5})^5 \)

由取捨原理 得 \(  C^3_1 * [   ({4 \over 5})^5 -2 * ({3 \over 5})^5 +({2 \over 5})^5  ]   \)

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作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-17 17:38

引用:

原帖由 natureling 於 2012-5-17 09:04 AM 發表
彬爸或其他老師：想請教一下...感謝

1. 填充第四題...如何很快看出AC中點M(1,1,1)  和   HF中點N   呢?
是把C看成(-1,3,0)嗎？   那HF的中點N又如何....@@

因為是長方體 所以 頂面 底面 的 對角線交點 連線 MN 平行 AE 與 BF
亦即 MN 是 公垂線段的端點

然後 如 興傑 方法
解出 歪斜線的公垂線段端點座標

只是我很懶 故省略解公垂線段端點的過程
並不是 很快用看的 就看出 中點座標M,N

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作者: natureling    時間: 2012-5-18 08:14     標題: 回復 52# cplee8tcfsh 的帖子

感謝彬爸和興傑^^

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作者: 阿光    時間: 2012-6-10 20:24

想請教填充第2題的詳解,謝謝
為什麼算不出學校公布的答案?

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作者: weiye    時間: 2012-6-10 20:41     標題: 回復 55# 阿光 的帖子

彬爸(cplee8tcfsh)早已寫出每一題的詳解，含填充第二題，請見前面的討論！

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