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標題: 裝球問題 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-12-2 20:15 標題: 裝球問題

科學人雜誌的介紹
h ttp://sa.ylib.com/book/bookshow.asp?FDocNo=758&DocNo=1230&CL=12(連結已失效)
但在這裡有雜誌的內容
數學接力賽 - 歷經400年，數學家終於證明，巿場小販堆疊水果的方式，是最節省空間的。
作者╱張海潮
http://fancydao.blogspot.tw/2006 ... 53312693763808.html
單維彰的私人書評
http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/book/sphere.html

關於刻卜勒猜想的緣由可以看上面兩篇的介紹，一般情況下的證明或許很難
但只要修改題目的條件就可以變成教甄考題，接下來我來整理相關的題目

作者: bugmens 時間: 2011-12-2 20:44

一個邊長10cm的正立方體內塞九個大小相同的球，中心球的球心在正立方體的中心，其他球皆與三個相鄰面以及中心球相切，求球的半徑？
(100豐原高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1118&page=2#pid3471)

附加檔案：9個球面彼此相切.rar

9個相同的球被包裝在一個邊長為1的正立方體內，其中一個球的球心位於正立方體的中心點上，而其他的球均與中心球相切且與正立方體的三各面相切，則每一個球的半徑為單位長。
(A)\( \displaystyle 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \)　(B) \( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}-3}{2} \)　(B) \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \)　(D) \( \displaystyle \frac{1}{4} \)　(E) \( \displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4} \)
(97全國高中聯招，1990AHSME)

110.2.10補充
邊長 4 的正方體內擺放八個半徑相同的球體，在此八個球體半徑最大的情形下，在他們中間放置一個小球，求此小球的最大半徑。
(109高中數學能力競賽　北一區口試，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

101.7.1補充
將一個半徑為4公分的水晶球，放入一個邊長為8公分的正方體容器，想在容器的八個角落再塞入八個半徑相同的小水晶球，則小水晶球的最大半徑為多少公分？
(101明倫高中，https://math.pro/db/thread-1410-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
106.7.24補充
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的小球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小球。問：小球的最大半徑為　　　單位。
(100華江高中二招，https://math.pro/db/thread-1177-1-1.html)

附加檔案：

9個球面彼此相切.zip (56.95 KB)

106.7.29補充

出自：九章出版社培養數學上的機智第29頁
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
四個半徑為1的球相切，三個放在地板上，第四個放置在其他三個上面，作一個稜長為s的正四面體外切這些球，試求s之值為多少？
(98中山大學雙週一題第四題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2009f/4Q.pdf)
解答http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2009f/4ans.pdf

如圖，將大小相同且半徑為1的4顆球置入正四面體的容器裡，這個正四面體的高的最小值為？
(99北區學測第二次模擬考，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA261.swf)

已知正四面體S-ABC的稜長為10，其內部有四個半徑相同且兩兩相切的小球，每個小球也都與相鄰的三個面相切，則小球半徑為　　。
(103鳳山高中，https://math.pro/db/thread-1904-1-1.html)

105.5.15補充
有四個半徑皆為1的球，每一個球皆與另外三球外切，已知一正四面體包住此四圓球，求正四面體邊長之最小值。
(建中通訊解題　第94期)

第一種方法：利用正四面體的高

第二種方法：利用正四面體的內切球半徑

下次我再將weiye的方法做成動畫
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=3#pid2969

圖片附件: 正四面體內切四球1.gif (2011-12-2 20:44, 57.64 KB) / 該附件被下載次數 8522
https://math.pro/db/attachment.php?aid=863&k=f13829a6d8db5e93f9bacf62d7d6142a&t=1732196283

附件: 正四面體內切四球1.rar (2011-12-2 20:44, 53.69 KB) / 該附件被下載次數 10787
https://math.pro/db/attachment.php?aid=864&k=967e819df11b167319b42a4adec7e886&t=1732196283

圖片附件: 正四面體內切四球2.gif (2011-12-2 20:44, 143.16 KB) / 該附件被下載次數 8445
https://math.pro/db/attachment.php?aid=865&k=556c4fa6711f6bf51ea05ac3f1572990&t=1732196283

附件: 正四面體內切四球2.rar (2011-12-2 20:44, 134.2 KB) / 該附件被下載次數 10618
https://math.pro/db/attachment.php?aid=866&k=927ad845a27205c773eb2374f3ca741e&t=1732196283

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附件: 9個球面彼此相切.zip (2017-7-24 10:42, 56.95 KB) / 該附件被下載次數 10506
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4237&k=4b98530cb45723ab4bdc3d5563a3577a&t=1732196283

圖片附件: 9個球面彼此相切1.jpg (2017-7-29 16:29, 29.15 KB) / 該附件被下載次數 6879
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圖片附件: 9個球面彼此相切2.jpg (2017-7-29 16:29, 59.37 KB) / 該附件被下載次數 6744
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4240&k=f13290408e52ba632018c809d46a51d0&t=1732196283

作者: bugmens 時間: 2012-1-15 17:02

連結已失效h ttp://blog.xuite.net/tonyhutw/twblog/123948473-念念幾何+之+緊緊依靠+2
四個球緊靠著兩兩外切，並內切於一個圓錐面，則這個圓錐面的高？

這個問題花了我很多時間在找圓錐的正確比例上。
一開始我以為圓錐的側面平面圖會和三個圓相切，結果轉一下球面的一部份就跑出圓錐外。
陸陸續續我還試著用不同的比例做調整，但有時平面圖看起來是正確的，但一旋轉就破功了。
最後我嘗試著將四個球面和圓錐內切的連線畫出來，連起來我才發現這是個大正四面體。
剛好和四個球面的球心所形成的小正面體相似，這時轉成平面圖就能找到相似三角形進而找到答案。

我深深覺得這次SketchUp幫了很大的忙，縮放工具可以讓我隨意調整圓錐大小來猜測可能的答案，
而旋轉工具能快速的印證猜測是否正確，最後再輔以數學計算出正確的答案，這是傳統紙筆計算難以做到的。

110.9.24補充
Four spheres of radius 1 are externally tangent to one another, as shown below. Compute the height of the right circular cone whose base is internally tangent to three of the spheres and whose lateral surface is internally tangent to all four spheres.
(2021ARML，https://drive.google.com/file/d/ ... rhwcsPFtLaQYszud6-/)

圖片附件: 圓錐內切四球.gif (2012-1-15 17:02, 196.5 KB) / 該附件被下載次數 8268
https://math.pro/db/attachment.php?aid=889&k=9b2176b61e18ccf6474b2b264e11748b&t=1732196283

附件: 圓錐內切四球.rar (2012-1-15 17:02, 188.21 KB) / 該附件被下載次數 10363
https://math.pro/db/attachment.php?aid=890&k=2dd0a4f6ee38b214c45fe7442436838e&t=1732196283

作者: weiye 時間: 2012-11-23 18:13 標題: 一顆球的內部有四個相等大小的內切球

一個學弟問的題目，記錄問與答如下。

Q：一個大氣球內裝四顆大小相同的小汽球，設氣球為圓形，小氣球兩兩外切且與大氣球內切，若小氣球半徑\(=4\) 且不考慮氣球厚度，則大氣球的半徑為？

A：

想像一下一個正四面體，四個頂點為 \(A,B,C,D\)，稜長為 \(2r\)。

以 \(A,B,C,D\) 為球心，以 \(r\) 為半徑可以畫出四顆球，且此四球兩兩外切。

設此正四面體的外接球球心為 \(P\)，外接球半徑為 \(m\)（可以算出來跟 \(r\) 有關，不過我沒有背），

則以 \(P\) 為球心，以 \(m+r\) 為半徑，可以做出一個與前面四顆球都相切的大球。

結束。

102.12.12補充：感謝 bugmens 提供圖檔與 sketchup檔如附件。

圖片附件: 四球外切大球.gif (2013-12-12 23:26, 23.92 KB) / 該附件被下載次數 6969
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2006&k=a4f1614c7ec3962b3dfe5e5bee0dacf5&t=1732196283

附件: 四球外切大球SketchUp檔.rar (2013-12-12 23:26, 119.16 KB) / 該附件被下載次數 10335
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2007&k=4b3f779fd3612d98f2c9ca8727197f4f&t=1732196283

作者: bugmens 時間: 2013-2-9 09:53

六個半徑為1的球，它們的球心置於邊長為2的正六邊形的六個頂點，且這六個球均內切於一個以此六邊形中心為球心的大球。第八個球與六個小球均外切，且內切於大球。試問第八個球的半徑為多少？
(A)\( \sqrt{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{3}{2} \)　(C)\( \displaystyle \frac{5}{3} \)　(D)\( \sqrt{3} \)　(E)2
(2013AMC12A，https://math.pro/db/thread-1532-1-1.html)

圖片附件: 2013AMC12第18題.gif (2013-2-9 09:53, 341.4 KB) / 該附件被下載次數 7941
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1518&k=3d82251ceea2f08d4f781fa5baa4f2b9&t=1732196283

附件: 2013AMC12第18題SketchUp檔.rar (2013-2-9 09:53, 182.93 KB) / 該附件被下載次數 11631
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1519&k=09543d2f24eb3d14cf87edfdca4c53a6&t=1732196283

作者: bugmens 時間: 2013-4-13 23:39

空間中，有四個球兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切，則其半徑=？
(102建國中學，https://math.pro/db/thread-1569-1-1.html)
1995中國數學奧林匹克

圖片附件: 小球和4球外切.gif (2013-4-13 23:39, 833.78 KB) / 該附件被下載次數 8147
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1584&k=ea79c1fd9348b464e8f886b3b885622d&t=1732196283

附件: 小球和4球外切SketchUp檔.rar (2013-4-13 23:39, 227.41 KB) / 該附件被下載次數 11066
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1585&k=24d9efdacf99a97c76421d925aa4204b&t=1732196283

作者: bugmens 時間: 2013-10-1 12:18

一圓柱內放入8顆半徑為 1 的球，分兩層放入，每顆球與其他四球以及圓柱之一底面相切，求柱高為何？
(95政大附中)
我參考thepiano的方法做成動畫

圖片附件: 桶中裝球.gif (2013-10-1 12:18, 478.16 KB) / 該附件被下載次數 7528
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附件: 桶中裝球SketchUp檔.rar (2013-10-1 12:18, 215.02 KB) / 該附件被下載次數 10687
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作者: bugmens 時間: 2015-5-12 14:55

已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球 (在正四面體外) 與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點\( p \)，則\( p \)落在內切球內或正四面體外圍的四個球內之機率最接近下列哪一個選項？
(A)0　(B)0.1　(C)0.2　(D)0.3　(E)0.4
(1999AHSME第29題，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_29)

圖片附件: 小球與大球的體積比.gif (2015-5-12 14:55, 287.08 KB) / 該附件被下載次數 6754
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2844&k=d4c9a4cf3a97d5f74c86c563931aa213&t=1732196283

附件: 小球與大球的體積比SketchUp檔.rar (2015-5-12 14:55, 128.64 KB) / 該附件被下載次數 9714
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2845&k=ddae7fdbdb0f5fee5a2ff5695f51791e&t=1732196283

作者: bugmens 時間: 2021-4-4 13:27

一個半徑為1的球體停留在一個倒立的四角錐狀容器內。這個倒立的四角錐的頂點是一個在水平上的正方形且它的每個側面都是正三角形。它的大小足以將這個球整個包含在內部。請問這個球的球心與四角錐的頂點\(X\)之距離為多少？
(A)\(\sqrt{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)　(C)\(3-\sqrt{2}\)　(D)\(\sqrt{3}\)　(E)2
(2012澳洲AMC高級卷第24題，http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/visit.php?lid=395)
http://www.chiuchang.org.tw/modu ... /viewcat.php?cid=48
題目是倒立四角錐，為了和其他圖方向一致以正立四角錐解題

圖片附件: 四角錐內切球.gif (2021-4-4 13:27, 22.41 KB) / 該附件被下載次數 3934
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5809&k=a5829a44cb6d891f12d445a025b4a31d&t=1732196283

附件: 四角錐內切球SketchUp檔.zip (2021-4-4 13:27, 55.38 KB) / 該附件被下載次數 6542
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5810&k=c63e0c4b93b13315f5bf8eee10455d64&t=1732196283

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