6.
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的大球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小球。問：小球的最大半徑為
單位。
[提示]
SketchUp檔下載
一個邊長10cm的正立方體內塞九個大小相同的球，中心球的球心在正立方體的中心，其他球皆與三個相鄰面以及中心球相切，求球的半徑？
(100豐原高中，
https://math.pro/db/thread-1118-1-4.html)
9個相同的球被包裝在一個邊長為1的正立方體內，其中一個球的球心位於正立方體的中心點上，而其他的球均與中心球相切且與正立方體的三各面相切，則每一個球的半徑為 單位長。
(A)\( \displaystyle 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \) (B) \( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}-3}{2} \) (B) \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \) (D) \( \displaystyle \frac{1}{4} \) (E) \( \displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4} \)
(97全國高中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958網頁已失效)
感謝thepiano提示
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2612
109.6.22補充
109新北市高中聯招考了相同題目，
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html
7.
求值\( \displaystyle \sum_{n=1}^{49} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}= \)？
(將答案化為最簡形式)
(我的教甄準備之路 裂項相消)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
這題完全命中，連n=1到49都一模一樣，筆記裡有提示
8.
尤拉在1742年時，將白努力所舉的四次多項式\( f(x) \)分解為二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2+\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1+\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
與二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2-\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1-\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
的乘積。白努利所舉的多項式\( f(x) \)=
(以降次排列表示)
我嘗試著Maxima解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=3#pid3989
110.2.21補充
方程式\(X^4-4X^3+2X^2+4X+4=0\)有四根\(x_{1,2}=1\pm \sqrt{2+i\sqrt{3}}\)，\(x_{3,4}=1\pm \sqrt{2-i\sqrt{3}}\)
\((X-x_1)(X-x_3)=X^2-(2+a)X+1+\sqrt{7}+a\)
\((X-x_2)(X-x_4)=X^2-(2-a)X+1+\sqrt{7}-a\)
\(a=\sqrt{4+2\sqrt{7}}\)
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true
1743年尤拉回信給白努利
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true
計算證明題
1.
求\( \displaystyle cot \frac{\pi}{24} \)的值。
[提示]
\( \displaystyle cot \theta=\frac{cos \theta}{sin \theta}=\frac{2 cos^2 \theta}{2 sin \theta cos \theta}=\frac{1+cos 2 \theta}{sin 2 \theta} \)
2.
(2)試證：對每個大於1的整數n，恆有\( \displaystyle \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{......\sqrt{n}}}}}<3 \)
101.1.27補充
臺灣師大100學年度大學甄選入學指定項目甄試試題
http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105
http://www.math.ntnu.edu.tw/down ... 6%E8%A9%A6%E4%B8%80
題目一模一樣，所以華江這份題目應該是師大教授出的
3.
將長\( \overline{AB}=240 \)，寬\( \overline{Bc}=288 \)的長方形紙張對摺，讓頂點C剛好落在線段\( \overline{AB} \)的中點M上，如下圖所示：
已知\( \overline{EF} \)是摺線，求摺線\( \overline{EF} \)的長度。
[提示]
假設\( \overline{CF}=x \)，\( \overline{DE}=y \)
△BFM,△AEM,△C'ME為直角三角形，用商高定理
105.6.5補充
105高雄餐旅附中考了一模一樣的題目
https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html
有一邊長為1的正方形ABCD，將B點折至\( \overline{CD} \)間的B'點(如圖)，折痕為\( \overline{PQ} \)，此時A點落於A'處，\( \overline{A'B'} \)與\( \overline{AD} \)的交點為點R，則△RB'D的周長為何？
(建中通訊解題第61期)
如圖，ABCD是邊長為1的正方形，沿\( \overline{PQ} \)對折，使得A,B對折之後分別重合於A',B'兩點，且B'在\( \overline{CD} \)上，
(a)證明△RB'D的周長為2。
(b)求△QB'C的最大面積。
(97國立大里高中，
https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html)
